Файл: Рабочая тетрадь по начертательной геометрии.pdf

Различают плоскости общего и частных положений.

Плоскость общего положения наклонена ко всем

перпендикулярные к одной плоскости проекций и наклоненные к двум другим.

2.Плоскости уровня – плоскости, параллельные одной плоскости проекций и перпендикулярные к двум другим.

Линиями уровня плоскости называют горизонтальные,

фронтальные и профильные прямые, принадлежащие заданной плоскости.

Плоскости в пространстве могут пересекаться или быть параллельными.

Общий план решения задач на построение линии пересечения

Параллельность двух плоскостей. Плоскости параллельны,

если две пересекающиеся прямые одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Чтобы задать на чертеже две параллельные плоскости, необходимо построить проекции двух пересекающихся и взаимно параллельных прямых.

За две пересекающиеся прямые, определяющие положение плоскости, можно взять линии уровня плоскости. Тогда у параллельных плоскостей будут параллельны о д н о и м е н н ы е л и н и и у р о в н я . На основании этого положения можно судить о параллельности двух плоскостей.

22

Взаимное положение прямой линии и плоскости, плоскостей

Прямые линии, не принадлежащие плоскости, могут пересекаться с ней (в том числе и под прямым углом) или быть ей параллельными.

1.Пересечение прямой с плоскостью

Задачи на пересечение прямой линии с плоскостью можно разделить на три группы в зависимости от положения прямой и плоскости относительно плоскости проекций. Для каждой группы характерна своя методика решения задач.

К первой группе относят задачи на пересечение прямой линии с проецирующими плоскостями или с плоскостями, параллельными плоскостям проекций (плоскостями уровня).

Взадачах первой группы одна проекция точки пересечения прямой и плоскости уже задана на исходном чертеже, а вторую проекцию находят без дополнительных построений с помощью одной линии проекционной связи.

Если плоскость задана плоской фигурой, то на чертеже следует отметить видимые и невидимые части прямой, считая плоскость ограниченной контуром фигуры.

Ко второй группе относят задачи на пересечение проецирующих прямых с плоскостями, занимающими общее или частное положение относительно плоскостей проекций.

Взадачах второй группы точку пересечения прямой с плоскостью находят с помощью вспомогательной прямой, проведенной в заданной плоскости через известную проекцию точки пересечения.

Втретью группу включены задачи на пересечение прямых общего положения или горизонтальных, фронтальных и профильных прямых с плоскостью общего положения.

При решении задач третьей группы используют вспомогательную плоскость, которую проводят через заданную прямую. В качестве вспомогательных плоскостей проще всего брать проецирующие плоскости.

При решении задач третьей группы руководствуются следующим планом: Проводят через заданную прямую вспомогательную плоскость.

Определяют линию пересечения заданной и вспомогательной плоскостей.

Находят точку пересечения заданных прямой и плоскости.

23

При определении точки пересечения профильной прямой с плоскостью общего положения через прямую проводят вспомогательную профильную плоскость.

Для определения проекций точки пересечения строят профильные проекции прямой и линии пересечения, так как горизонтальные и фронтальные проекции этих прямых расположены на общей линии проекционной связи.

Решение задач на пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения упрощается при использовании способа замены плоскостей проекций. Задают новую плоскость 4 перпендикулярно линии уровня. В новой системе плоскостей проекций, плоскость общего положения займет проецирующее положение и задача на пересечение прямой с плоскостью может быть отнесена к первой группе.

2.Параллельность прямой и плоскости

Если прямая параллельна какой – нибудь прямой, расположенной в плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Если требуется определить параллельны ли прямая и плоскость, то руководствуются следующим планом решения задачи:

В плоскости задают произвольную точку или используют одну из точек, определяющих положение плоскости. Через эту точку проводят прямую, параллельную заданной прямой и определяют, принадлежит ли построенная прямая плоскости.

3.Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым , принадлежащим плоскости . Известно, что построить две взаимно перпендикулярные прямые можно только тогда, когда одна из прямых параллельна какой - либо плоскости проекций. Поэтому о перпендикулярности прямой и плоскости судят по линиям уровня,

принадлежащим заданной плоскости. Прямую, перпендикулярную к

заданной плоскости, можно проводить через точку, расположенную на плоскости или вне ее.

При построении прямой, перпендикулярной к плоскости общего положения, в заданной плоскости проводят

24

произвольные горизонтальную h и фронтальную f прямые, пересекающиеся в точке А. Далее строят прямую А В h и АВ f . Построенная прямая АВ будет перпендикулярна к плоскости .

Горизонтальная проекция прямой, перпендикулярной к заданной плоскости , должна быть перпендикулярна к h , а её фронтальная проекция проведена перпендикулярно к f . Первое условие обеспечивает перпендикулярность между искомой прямой и горизонтальной прямой плоскости, а второе - между искомой прямой и фронтальной прямой плоскости.

Для того, чтобы найти точку пересечения построенного перпендикуляра и плоскости, нужно решить задачу на пересечение прямой с плоскостью.

В тех случаях, когда плоскость является проецирующей, перпендикуляр к ней будет прямой частного положения.

Плоскость, перпендикулярную к заданной прямой, обычно задают горизонтальной и фронтальной прямыми, перпендикулярными к ней.

При построении геометрического места точек пространства, равноудаленного от концов отрезка АВ, (искомым геометрическим местом точек будет плоскость, проведенная через середину отрезка АВ перпендикулярно к нему и заданная горизонтальной h

АВ и фронтальной f АВ прямыми.

4.Перпендикулярность двух плоскостей

Две плоскости перпендикулярны , если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости.

Вопросы для самопроверки:

Какими способами могут быть заданы плоскости на эпюре? Какие плоскости называют плоскостями общего и частных положений?

По каким признакам на эпюре может быть определена принадлежность прямой плоскости?

В каких случаях точка принадлежит плоскости?

Как построить проекции точки, принадлежащей плоскости общего положения, по заданным координатам у и z?

Как проверить, является ли заданный многоугольник плоской фигурой?

Как расположены проекции линий уровня в плоскостях общего и частных положений?

25

Как построить проекции линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций?

Как построить проекции прямой, параллельной заданной плоскости?

Как построить проекции плоскости, проходящей через заданную прямую и параллельную другой прямой?

Как установить по эпюру, параллельны ли заданные прямая и плоскость?

Как построить проекции плоскости, параллельной заданной плоскости?

Как определить по эпюру, параллельны ли две заданные плоскости?

Как расположены на эпюре проекции прямой, перпендикулярной плоскости?

Как задать плоскость, перпендикулярную к заданной прямой? Как задать плоскость, перпендикулярную к заданной плоскости?

Как определить по эпюру, перпендикулярны ли друг к другу две заданные плоскости?

Как построить точку пересечения прямой с плоскостью частного положения?

Каков алгоритм определения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения?

Как построить проекции линии пересечения плоскостей общего и частного положений?

Каким образом определяют взаимную видимость пересекающихся прямой и плоскости, плоскостей?

Какие способы существуют для определения линии пересечения плоскостей общего положения?

Задачи:

3.1Определить, принадлежат ли точки А, В, С и D одной плоскости (рис.3.1). Координаты точек: А(65,25,25),

B(55,10,10), C(40,35,40), D(15,20,15).

26

3.2.Построить фронтальную проекцию точки А (рис.3.2), принадлежащей плоскости (а∩p).

3.3.Как расположена точка М (рис.3.3) относительно плоскости (а∩b): принадлежит ей, находится перед или за ней?

3.4.Определить положение точки Е относительно параллелограмма ABCD и отметить ее видимость (рис.3.4).

Координаты точек: А(50,10,35), В(5,25,35), C(20,45,10), D(?,?,10), Е(35,30,15).

27

3.6.Через точку А провести прямую с (рис.3.6), параллельную прямой р (варианты решений).

3.7.В плоскости (АВС) построить три проекции горизонтали, фронтали и профильной прямых, проходящих соответственно через точки А(70,10,25), С(20,25,10), В(35,45,45) (рис.3.7).

Рис.3.7

28

3.8.Построить проекции горизонталей, фронталей и профильных прямых (рис.3.8), произвольно расположенных в проецирующих плоскостях (a||b), β(ABC) и γ.

Рис.3.8

3.9.Построить дополнительную проекцию треугольника ABC на плоскость, перпендикулярную его горизонтали (рис.3.9).

Координаты точек: А(50,0,10), В(25,45,25), С(10,20,0).

3.10.Построить дополнительную проекцию треугольника ABC,

перпендикулярного к плоскости проекций 2, на плоскость, расположенную параллельно ему (рис.3.10). Координаты точек: А(55,0,20), В(10,10,0), С(30,30,?).

29