Файл: Рабочая тетрадь по начертательной геометрии.pdf

В виде каких фигур проецируется на плоскости проекций траектория точки, вращающейся вокруг линии уровня?

Как обозначают проекции точек при втором повороте геометрической фигуры?

Как должны быть расположены первая и вторая оси вращения относительно основных плоскостей проекций, чтобы после поворота прямой общего положения она стала фронтально проецирующей?

В чем заключается смысл преобразования чертежа способом поворота заданных фигур вокруг линий уровня?

Как проецируется траектория вращения точки на плоскости проекций 1 и 2 при ее повороте вокруг фронтальной прямой плоскости?

Какими способами можно определить действительную величину радиуса вращения точки, принадлежащей плоскости общего положения, при ее повороте вокруг линии уровня той же плоскости?

Задачи:

4.1Прямую АВ спроецировать на дополнительную плоскость проекций, относительно которой она будет занимать проецирующее положение (рис.4.1). Координаты точек:

А(55,0,25) , В(5,40,0).

Рис.4.1

40

4.2.Построить проекции равнобедренного треугольника ABC с вершиной С на прямой DE (рис.4.2). Координаты точек:

А(50,20,25), B(10,40,0), D(40,5,10), E(10,20,30).

Рис.4.2

4.3.Построить недостающую проекцию точки М, расположенной на расстоянии 15 мм от плоскости треугольника ABC

(рис.4.3). Координаты точек: А(45,25,35), В(25,30,15), С(5,10,45), М(50,?,20).

41

Рис.4.3

4.4.Построить проекции прямой, проходящей через точку М и пересекающей прямые АВ и CD (рис.4.4). Координаты точек:

А(0,20,0), В(30,50,40), С(15,30,0), D(50,10,30), М(60,20,10).

Рис.4.4

42

4.5.Построить проекции точки D, симметричной точке Е относительно плоскости треугольника ABC (рис.4.5).

Координаты точек: А(50,20,10), В(15,30,25), С(35,0,40), Е(30,0,0).

Рис.4.5

4.6.Отрезок АВ повернуть вокруг проецирующих прямых до горизонтально проецирующего положения (рис.4.6).

Координаты точек: А(80,30,25), B(50,15,45).

Рис.4.6

43

4.7. Прямую АВ повернуть вокруг горизонтально проецирующей прямой так, чтобы в новом положении она прошла через точку С (рис.4.7). Координаты точек: А(80,25,35), В(50,5,5), С(20,30,25).

Рис.4.7

4.8.Последовательными поворотами вокруг проецирующих прямых расположить треугольник ABC параллельно фронтальной плоскости проекций (рис.4.8). Координаты

точек: А(60,5,40), В(30,15,55), С(10,35,30). (При решении задачи

фронталь следует провести через точку А).

Рис.4.8

44

4.9.Точку М повернуть вокруг проецирующей прямой,

перпендикулярной плоскости проекций 1 и проходящей через точку С, до совмещения с плоскостью треугольника

ABC (рис.4.9). Координаты точек: А(70,0,10), В(45,50,35), С(30,10,0), М(10,20,15).

Рис.4.9

4.10.Поворотом вокруг проецирующей прямой, проходящей через

точку С и перпендикулярной плоскости проекций 1, совместить точку А с поверхностью шара с центром в точке В (рис.4.10). Радиус шара 25 мм. Координаты точек:

А(80,40,40), В(30,30,25), С(60,10,10).

45

Рис.4.10

4.11.Треугольник ABC повернуть вокруг линии уровня до положения, параллельного фронтальной плоскости проекций

(рис.4.11). Координаты точек: А(60,15,35), B(40,45,50), С(10,25,20).

46

5. Метрические задачи

Метрическими задачами называют задачи на определение значений величин, измеряющих расстояние или угол между двумя геометрическими фигурами, а также задачи на построение геометрических фигур по заданному между ними расстоянию (в мм) или углу (в градусах).

В зависимости от положения двух геометрических фигур относительно плоскостей проекций расстояние или угол между ними можно измерить непосредственно на чертеже или после преобразования их проекций.

Определение расстояний между двумя геометрическими фигурами

Расстояние можно определять между следующими геометрическими фигурами:

двумя точками; точкой и прямой линией;

двумя параллельными прямыми линиями; двумя скрещивающимися прямыми линиями; точкой и плоскостью; прямой линией и плоскостью, ей параллельной;

двумя параллельными плоскостями.

Решение всех перечисленных выше задач сводится к определению истинной величины отрезка, которым измеряется нужное расстояние.

Расстояние между двумя точками измеряется длиной отрезка, соединяющего данные точки.

Расстояние между точками определяют с помощью одной замены плоскости проекций или одним поворотом вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций.

Расстояние от точки до прямой линии измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Если прямая линия занимает проецирующее положение, то искомое расстояние проецируется без искажения.

Если прямая линия занимает положение, параллельное какойлибо плоскости проекций, то отрезок, измеряющий нужное расстояние, проецируется на основные плоскости проекций с искажением. Для определения истинной величины отрезка применяют один из способов преобразования проекций, например, способ замены плоскостей проекций или используют

48

способ вращения вокруг проецирующих прямых, а также линий уровня плоскости, так как точка и прямая представляют собой плоскость.

Расстояние между двумя параллельными прямыми линиями сводится к определению расстояния от точки, взятой на одной прямой, до другой прямой. Таким образом, методика решения этой задачи аналогична рассмотренной выше.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми линиями измеряется отрезком прямой, перпендикулярной к двум заданным.

Наиболее просто задача решается тогда, когда одна из прямых занимает проецирующее положение. В этом случае перпендикуляр к прямым занимает частное положение и равен кратчайшему расстоянию между прямыми.

В общем случае задачу решают при помощи двойной замены плоскостей проекций. Замену плоскостей производят с таким расчетом, чтобы одна из прямых спроецировалась в точку. Например, можно воспользоваться такой заменой:

Для определения кратчайшего расстояния между двумя скрещивающимися прямыми можно также воспользоваться плоскостями п а р а л л е л и з м а . Такие плоскости получаются тогда, когда через две скрещивающиеся прямые проводят параллельные плоскости. В этом случае задача сводится к определению расстояний между двумя параллельными плоскостями.

Расстояние между точкой и плоскостью определяется перпендикуляром, опущенным из точки на плоскость.

Если плоскость занимает проецирующее положение, то задачу решают без дополнительных построений.

В общем случае задачу решают одной заменой плоскостей

искомому расстоянию, так как параллелен плоскости 4 .

Расстояние между прямой линией и плоскостью, ей параллельной. Для определения расстояния от прямой линии до плоскости, ей параллельной, на этой прямой берут любую точку и определяют расстояние от нее до плоскости, т.е. решение этой задачи сводят к решению предыдущей задачи.

49

Расстояние между двумя параллельными плоскостями.

Для определения расстояния между двумя параллельными плоскостями, в одной из них задают произвольную точку и определяют расстояние от нее до другой плоскости. Решение такой задачи было рассмотрено выше.

Задачи на определение расстояний могут встречаться в различных комплексных задачах.

В большинстве случаев одну и ту же задачу на определение расстояния между двумя геометрическими фигурами можно решать с помощью разных способов преобразования проекций или их комбинаций.

Вопросы для самопроверки:

Какие способы преобразования чертежа используют для определения натуральной величины расстояний между:

двумя точками; точкой и прямой; точкой и плоскостью;

точкой и поверхностью вращения; параллельными прямыми; скрещивающимися прямыми; параллельными плоскостями?

При каких положениях прямой линии и точки относительно плоскостей проекций расстояние между ними проецируется без искажения?

При каком положении относительно плоскостей проекций одной из двух скрещивающихся прямых можно измерить на чертеже расстояние между ними?

Есть ли разница в методике решения задач на определение расстояния между точкой и плоскостью или между двумя параллельными плоскостями?

50

Задачи:

5.1. Определить расстояние от точки до прямой (рис.5.1 а, б, в). а) б)

Рис.5.1, а, б

в)

51

5.2.Построить горизонтальную проекцию точки А, отстоящей от фронтали ВС на расстоянии 15 мм (рис.5.2). Координаты точек: А(20,?,20), В(40,?,30), С(10,10,0).

5.3.Определить натуральную величину расстояния между точкой

иповерхностью вращения. Построить проекцию точки на поверхность вращения, ближайшую к заданной точке

(рис.5.3, а, б, в, г).

г)

Рис.5.3

52

5.4.Определить расстояние от точки D до плоскости (А,В,С)

(рис.5.4). Координаты точек: А(50,20,15), B(30,40,30), С(10,15,0), D(40,10,30).

5.5.Определить расстояние от плоскости ( АВС) до поверхности шара диаметром 40 мм с центром в точке D (рис.5.5).

Координаты точек: А(45,5,15), В(30,0,30), С(10,30,15), D(55,40,25).

Определение величин углов между двумя геометрическими фигурами

Угол между двумя любыми геометрическими фигурами измеряется плоским углом между двумя пересекающимися прямыми линиями.

Углы можно определять между следующими геометрическими фигурами:

двумя пересекающимися прямыми линиями; двумя скрещивающимися прямыми линиями; прямой линией и плоскостью; двумя плоскостями.

Этот угол проецируется без искажения лишь при следующих частных положениях двух геометрических фигур:

53

между двумя пересекающимися прямыми, расположенными в плоскости уровня;

между прямой уровня и плоскостью уровня, если прямая принадлежит плоскости, перпендикулярной к заданной; между плоскостью уровня и проецирующей плоскостью; между двумя проецирующими плоскостями, перпендикулярными к одной и той же плоскости проекций. При других положениях двух геометрических фигур

относительно плоскостей проекций величину угла между ними определяют с помощью одного одинарного или двух двойных преобразований их проекций.

Угол между двумя пересекающимися прямыми линиями

проецируется без искажения, когда плоскость, образованная этими прямыми, параллельна какой-либо плоскости проекций. В общем случае угол между двумя пересекающимися прямыми определяют с помощью преобразования проекций.

Угол между двумя скрещивающимися прямыми линиями измеряется углом между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным. Таким образом, эта задача аналогична предыдущей. Для решения задачи берут произвольную точку и через нее проводят две прямые, параллельные заданным скрещивающимся прямым, и с помощью преобразования проекций определяют искомый угол.

Угол между прямой линией и плоскостью измеряется углом между прямой и ее проекцией на данную плоскость. Прямое решение этой задачи часто бывает сложным, так как прямая и плоскость в большинстве случаев занимают общее положение. Гораздо проще вначале определить дополнительный

общее положение, может быть также определен следующим образом. Выполняют замену плоскостей проекций, в результате чего плоскость общего положения становится проецирующей

54