Файл: Рабочая тетрадь по начертательной геометрии.pdf

(прямая при этом остается прямой общего положения). Из точки на прямой опускают перпендикуляр на проецирующую плоскость и находят точку пересечения перпендикуляра с проецирующей плоскостью. Определив истинную величину прямой, (например, способом прямоугольного треугольника), определяют угол между прямой и плоскостью.

Угол между двумя плоскостями представляет собой двугранный угол, который измеряется его линейным углом. Две пересекающиеся плоскости образуют два смежных линейных угла,

но за угол между плоскостями принимают острый угол.

Чтобы построить линейный угол, нужно двугранный угол пересечь плоскостью, перпендикулярной его ребру, а, следовательно, и к линии пересечения плоскостей. Для определения двугранного угла между двумя плоскостями общего положения нужно построить их линию пересечения и с помощью способа замены плоскостей проекций или вращения спроецировать ее в точку.

Чтобы определить двугранный угол, задают дополнительную плоскость 4 параллельно линии пересечения плоскостей. Вторую дополнительную плоскость 5 задают перпендикулярно линии пересечения и находят истинную величину угла.

Построенные перпендикуляры и линии пересечения образуют плоский четырехугольник, в котором два угла – прямые, а на остальные два остается 180 . Если угол между перпендикулярами

как острым, так и тупым. Последнее обстоятельство вызвано тем, что точку задают в произвольном месте пространства.

Вопросы для самопроверки

При каком положении двух проецирующих плоскостей относительно плоскостей проекций угол между ними проецируется без искажения?

Какие способы преобразования проекций можно использовать для определения действительной величины угла между двумя пересекающимися прямыми линиями, расположенными в плоскости общего положения?

Какой прием используют при определении действительной величины угла между двумя скрещивающимися прямыми линиями?

Какой прием позволяет упростить определение угла между прямой линией, пересекающейся с плоскостью, если они занимают общее положение?

Задачи:

5.6. Определить натуральные величины углов наклона плоскости (А, а) к плоскостям проекций 1 и 2 (рис.5.6).

Рис.5.6

56

5.7.Определить натуральную величину угла между прямой m и плоскостью (А,В,С) (рис.5.7). Задачу решить способом вращения вокруг линии уровня.

Рис.5.7

5.8.Определить натуральную величину угла между прямой АВ и горизонтально проецирующей плоскостью, проходящей через прямую CD (рис.5.8). Координаты точек: А(60,45,35),

B(30,30,15), С(45,10,10), D(10,35,35).

57

Рис.5.8

58

6. Проекции многогранников. Сечение многогранника плоскостью. Пересечение прямой линии с поверхностью многогранника

Многогранник – геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками.

Плоские многоугольники, ограничивающие многогранник, называются гранями, прямые линии, по которым пересекаются смежные грани, — ребрами, а точки, в которых пересекаются ребра, — вершинами. При сечении многогранников плоскостями получают плоские многоугольники, число сторон которых равно числу пересеченных граней. Стороны и вершины этих многоугольников представляют собой линии и точки пересечения граней и ребер многогранников с секущими плоскостями. Видимость ребер определяют с помощью конкурирующих точек. Решение задач на построение сечений многогранников плоскостями сводится к определению линии пересечения двух плоскостей и точки пересечения прямой с плоскостью.

Призма — это многогранник, основаниями которого являются равные многоугольники, а боковые грани представляют собой параллелограммы.

Если ребра призмы перпендикулярны к плоскости основания, то призму называют прямой. Прямую призму с основанием в виде правильного многоугольника называют правильной.

Пирамида — это многогранник, в основании которого располагается какой-либо многоугольник, а боковые грани представляют собой треугольники, сходящиеся в одной вершине.

Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, а высота пирамиды проходит через его центр, то такую пирамиду называют правильной.

Вопросы для самопроверки:

Как определить видимость ребер многогранника на его проекциях?

Как построить недостающие проекции точек, расположенных на гранях многогранника?

Как образуются вершины и стороны фигур сечения многогранника плоскостью?

Какими способами можно построить проекции фигуры сечения многогранника плоскостью?

59

Как определить видимость линии контура сечения многогранника плоскостью?

Как определить положение заданной своими проекциями точки относительно поверхности многогранника?

Как построить проекции точек пересечения прямой с гранями многогранника?

Как определить видимость частей прямой, пересекающейся с многогранником?

Задачи:

6.1.Построить проекции многогранника ABCD с учетом видимости ребер. Построить недостающие проекции точек М и N, расположенных на видимых гранях многогранника

(рис.6.1). Координаты точек: А(90,50,0), В(70,10,50), С(10,40,40), D(40,5,10), М(65,?,25), N(45,35,?).

Рис.6.1

6.2.Построить проекции и натуральный вид контура сечения пирамиды плоскостью β (рис.6.2). Отметить видимые отрезки контура сечения.

60

Рис.6.2

6.3. Построить проекции и натуральный вид контура сечения пирамиды плоскостью (А,В,С) (рис.6.3). Отметить видимость отрезков контура сечения.

Рис.6.3

61

7. Поверхности вращения. Сечения поверхностей вращения плоскостью. Пересечение прямой линии с

поверхностями вращения

Поверхности вращения – это поверхности полученные при вращении какой-либо линии (прямой или кривой), называемой образующей вокруг неподвижной прямой -оси вращения.

Из закона образования поверхности вращения вытекают следующие основные свойства:

Плоскость, перпендикулярная оси вращения, пересекает поверхность по окружности – параллели. Самая большая параллель – экватор, самая маленькая – горло (или горловина).

Плоскость, проходящая через ось вращения, пересекает поверхность по двум симметричным относительно оси линиям – меридианам.

Плоскость, проходящая через ось параллельно фронтальной плоскости проекций, называется плоскостью главного меридиана, а линия, полученная в сечении, – главным меридианом.

Телами вращения называют тела, ограниченные поверхностью вращения или поверхностью вращения и плоскостью. Простейшими и наиболее распространенными телами вращения являются прямые круговые цилиндр и конус, а также шар.

Прямые круговые цилиндр и конус образуются при вращении прямой линии вокруг оси вращения.

Шар образуется вращением окружности вокруг её диаметра. Поверхность шара – сфера.

Тор образуется при вращении окружности вокруг оси, не проходящей через центр этой окружности.

Изображения тел вращения на плоскостях, параллельных их осям вращения, ограничены образующими, называемыми очерковыми. Очерковые образующие на проекциях разграничивают видимую и невидимую части геометрических тел. При сечении поверхностей вращения плоскостями многие из полученных фигур ограничены лекальными кривыми. Проекции таких кривых строят по опорным и промежуточным точкам. Чтобы найти недостающую проекцию точки, лежащей на поверхности вращения, необходимо построить параллель, на которой лежит эта точка.

62

Вопросы для самопроверки:

Какую поверхность называют поверхностью вращения?

Какие линии являются образующими (производящими) линиями: цилиндрической, конической, сферической, торовой и винтовой поверхности?

Как определяют положение точки относительно поверхностей вращения?

По каким линиям плоскости пересекают поверхности прямого кругового цилиндра, прямого кругового конуса, сферы? Перечислите главные линии поверхности вращения.

Как найти недостающую проекцию точки, лежащей на поверхности вращения?

Задачи:

7.1.Назвать линии, по которым проецирующие плоскости, проходящие через точку А, пересекают цилиндрическую поверхность (рис. 7.1).

Рис.7.1

7.2.Назвать линии, по которым проецирующие плоскости, проходящие через точку В, пересекают коническую поверхность (рис. 7.2).

63

Рис.7.2

7.3.Построить проекции контура сечения и натуральный вид сечения цилиндра плоскостью . Задать плоскость β, проходящую через фронтально проецирующую прямую а и пересекающую поверхность цилиндра по линии, горизонтальной проекцией которой является окружность

(рис. 7.3).

Рис.7.3

64

7.4.Построить проекции контура и натуральный вид сечения конуса фронтально проецирующей плоскостью β (рис.7.4).

Рис.7.4

7.5. Построить проекции контура и натуральный вид сечения шара профильно проецирующей плоскостью γ (рис.7.5).

65

Рис.7.5 7.6. Построить три проекции линии пересечения конуса

горизонтально проецирующей плоскостью, проходящей через точки А и В. Точки С - вершина конуса, D - центр окружности основания, диаметр равен 40 мм (рис.7.6). Координаты точек:

А(50,15,0), В(10,45,0), С(25,25,40), D(25,25,0).

Рис.7.6

66

7.7. Построить проекции точек пересечения прямой а с поверхностью цилиндра (рис. 7.7), прямых h и b с поверхностью конуса (рис. 7.8), прямой с с поверхностью конуса (рис. 7.9), прямой d с поверхностью шара (рис. 7.10).

67