Файл: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.03.2025

Просмотров: 4004

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

При

49

2

L

кг м

с

M 0

dL

0

dt

.

– закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы относительно любой оси не изменяется с течением времени.

На самом деле закон сохранения момента импульса ниоткуда не выводится, а является выражением свойств пространства-времени (см. РАЗДЕЛ 1.1.2).

Более подробно закон сохранения момента импульса рассмотрим ДАЛЕЕ.

1.6. Закон сохранения импульса

Законы сохранения позволяют найти связь между характеристиками механической системы до и после взаимодействия, не вдаваясь в подробности произошедшего процесса. Сначала подробно рассмотрим закон сохранения импульса.

Вспомним основные соотношения

Импульс материальной точки: Импульс механической системы:

Теорема о движении центра масс:

Если система замкнута, то

(см. РАЗДЕЛ 1.4.8):

p mv

i

C

P

p

Mv

dP

F

e

dt

dP

0

dt

P

const

.

Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы остаётся неизменным с течением времени.

Замкнутых систем в строгом смысле этого слова в природе не бывает, но во многих случаях импульс системы можно считать сохраняющимся:

1.Внешние силы скомпенсированы: Fe 0.

2.Движение системы рассматривается в течение короткого промежутка време-

ни t:

P t

F

e

,

P F

e

t

.

Если t мало, то и P мало и им можно пренебречь. С чем сравнивать эти величины? Речь идёт о влиянии взаимодействий, описываемых внешними и внутренними силами, на движение отдельных тел, входящих в рассматриваемую механическую систему, при взрыве, ударе и т. п. Изменение импульса этих тел под действием внутренних сил велико по сравнению с изменением импульса под действием внешних сил тогда, когда модуль главного вектора внутренних сил, приложенных к какому-либо телу, входящему в систему, много больше модуля равнодействующей внешних сил, приложенных к этому же

телу: Fi

Fe .

i

i

50

3. Внешние силы не скомпенсированы

dP

dt

F

e

0

, но проекция главного век-

тора внешних сил на какое-либо направление равна нулю:

F

e

0

x

dPx dt

0

Px const

– проекция импульса механической системы на это направление (ось x) остаётся неизменной с течением времени.

ПРИМЕР

Пружинная пушка

Пушка массы M стоит на горизонтальных рельсах и стреляет в горизонтальном направлении снарядом массы m, вылетающим со скоростью v (РИС. 5.3). Найти скорость пушки после выстрела.

m

Рассмотрим механическую систему пушка-

снаряд. Будем работать в лабораторной

M

x

системе отсчёта.

Считаем, что в момент выстрела сохраня-

Рис. 5.3

ется проекция импульса системы на гори-

зонтальное направление (Px = const); из-

менением импульса системы под действием трения пушки о рельсы пренебрежём. Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось x:

0

получим

mv Mu

u

mv

.

M

;

Чем массивнее снаряд, тем больше начальная скорость пушки и расстояние, на которое она откатится после выстрела. Проверим это экспериментально.

Демонстрация: Пружинная пушка

1.7. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса

1.7.1. Момент импульса

Момент импульса – векторная величина (псевдовектор), характеризующая инертность тела в движении.

1. Момент импульса материальной точки относительно точки

Момент импульса материальной точки относительно точки (полюса) ра-

вен векторному произведению радиуса-вектора этой точки на её импульс

(РИС. 5.4):

Lrp .

2.Момент импульса материальной точки относительно оси

Момент импульса материальной точки относительно оси:

L rp z k .

51

Вектор момента импульса относительно оси всегда направлен вдоль этой оси;

направление определяется по правилу правого винта. (На РИС. 5.5

p

лежит не в

плоскости чертежа.)

z

m

O

m

O

Рис. 5.4

Рис. 5.5

3. Момент импульса механической системы

Момент импульса механической системы равен сумме моментов импульсов тел (материальных точек), составляющих эту систему:

L

i

L

.

(5.5)

4. Момент импульса твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

z

Пусть твёрдое тело вращается вокруг оси z с угловой скоро-

стью ω (РИС. 5.6). Разобьём тело на малые фрагменты масса-

,

ми mi, отстоящие от оси z соответственно на расстояния ri и

имеющие скорости vi и импульсы

pi Момент импульса i-го

фрагмента

Oi mi

Рис. 5.6

Li

ri ,Δpi

.

Момент импульса тела по определению (5.5)

L

L

r ,Δp

r ,Δm v

r ,Δm

ωr

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

2

2

m ωr

r

ωr

ω

m r

Iω.

0

I

vi

ωri

Здесь учтено, что

.

Мы получили результат,

совпа-

дающий с определением (5.4).

5. Момент импульса твёрдого тела, совершающего плоское движение

L r

P L

,

C

C

где rC – радиус-вектор центра масс тела, P – импульс тела; LC IC ω – момент им-

пульса, соответствующий вращению тела вокруг оси, проходящей через центр масс тела перпендикулярно плоскости его движения, IC – момент инерции тела относительно этой оси.

Доказательство

Разобьём тело на малые фрагменты массами mi. По определению (5.5)

52

L

Li

r ,Δp

i

i

r ,Δm v

i

i

i

,

где ri

– радиус-вектор i-го фрагмента,

vi – его скорость,

ставим (ср. РИС. 3.4)

ri rC ρi

vi vC ui ,

pi

– его импульс. Пред-

где rC

– радиус-вектор центра масс тела,

ρi

– радиус-вектор, проведённый из цен-

ui

dρ

тра масс к i-му фрагменту,

vC

– скорость центра масс,

i

ωρi

– скорость i-

dt

го фрагмента относительно центра масс,

ω

– угловая скорость тела. Таким обра-

зом,

L

r

ρ

,

m

v

u

m

r v

r u

ρ v

ρ u

C

i

i

C

i

i

C

C

C

i

i

C

i

i

r v

m r

,

m u

m ρ

,v

ρ ,Δm u

C

C

i

C

i

i

i

i

C

i

i

i

dρ

0, т. к. точка C – центр масс

r

,Mv

r

,

m

m ρ ,

ωρ

i

C

C

C

i

dt

i

i

i

r P

r

,

d

C

C

dt

(здесь M – масса тела).

i

2

C

i

2

i i

i

i

m ρ

m ωρ

r P

ω

m ρ

0

r P

I

ω, ч. т.

д.

C

C

IC

1.7.2. Закон сохранения момента импульса

Основное уравнение динамики вращательного движения

dL

e

,

dt

M

где Me – главный вектор моментов внешних сил. Если механическая система замкнута, то

Me 0

dL

0

dt

L const .

Момент импульса замкнутой системы относительно любой оси не изменяется с течением времени.

Если система не является замкнутой, но Me 0 относительно некоторой оси – моменты внешних сил равны нулю либо скомпенсированы, то момент импульса системы относительно этой оси не изменяется с течением времени.

ПРИМЕР

Скамья Жуковского

Скамья Жуковского представляет собой диск, который может вращаться вокруг вертикальной оси – оси симметрии – почти без трения. На скамье может стоять (или сидеть) человек и выполнять различные действия. Рассмотрим два опыта.

Демонстрация: Скамья Жуковского

Смотрите также файлы