Файл: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.03.2025

Просмотров: 3983

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

53

Опыт 1

Экспериментатор стоит на скамье Жуковского, вращающейся с угловой скоро-

стью

ω1

(РИС. 5.7А). В разведённых в стороны руках экспериментатор держит ган-

тели. Затем экспериментатор сводит руки так, что расстояние от гантелей до оси уменьшается (РИС. 5.7Б). Как изменится угловая скорость системы?

z

z

а

б

Рис. 5.7

На систему человек-скамья-гантели воздействуют следующие внешние объекты:

Земля с силой тяжести Fт и опорная поверхность с силой реакции

лы имеют нулевые моменты относительно вертикальной оси z: M тельно, момент импульса рассматриваемой механической системы

этой оси сохраняется: L const .

N . Обе эти си-

e

0

. Следова-

относительно

Момент импульса системы в начальном состоянии

L1 I1ω1 ,

где I1 – момент инерции системы относительно оси z в начальном состоянии (с разведёнными руками и гантелями).

Момент импульса системы в конечном состоянии

L2 I2ω2 ,

где I2 – момент инерции системы относительно оси z в конечном состоянии (со

сведёнными руками и гантелями),

ω2

– конечная угловая скорость.

Так как L1 L2 L ,

I

ω

1

1

В проекции на ось z

I

ω

2

2

.

I1ω1 I2ω2 ω2 I1Iω1 . 2

54

Так как I2 < I1 (в конечном положении гантели находятся ближе к оси), угловая скорость системы увеличивается.

Опыт 2

Экспериментатор стоит на неподвижной скамье Жуковского. Ему в руки дают ось колеса, вращающегося с угловой скоростью ω, направленную вертикально вверх (РИС. 5.8А). Затем экспериментатор поворачивает ось колеса вниз (РИС. 5.8Б).С какой угловой скоростью начнёт вращаться скамья?

z

z

а

б

Рис. 5.8

Момент импульса системы человек-скамья-гантели относительно вертикальной оси сохраняется по той же причине, что и В ПРЕДЫДУЩЕМ ОПЫТЕ.

Момент импульса системы в начальном состоянии

L1 I1ω1

,

где I1 – момент инерции колеса относительно его оси; ловой скорости колеса, ω1 = ω.

Момент импульса системы в конечном состоянии

L2 I1ω2 I2ω ,

ω1

– вектор начальной уг-

где I2 – момент инерции человека и скамьи относительно оси z,

ω2

– вектор ко-

нечной угловой скорости колеса, ω2 = ω, ω – конечная угловая скорость скамьи. Так как L1 L2 ,

I1ω1 I1ω2 I2ω .

В проекции на ось z

I1ω I1ω I2ω ω 2II1ω .

2

55

Скамья будет вращаться в направлении, совпадающем с начальным направлением вращения колеса.

56

Лекция 6

1.8. Работа и энергия

1.8.1. Кинетическая энергия

Кинетическая энергия – энергетическая характеристика движения;

[Wк] = Дж.

1. Кинетическая энергия материальной точки

Кинетическая энергия материальной точки равна произведению массы мате-

риальной точки на квадрат её скорости, делённый пополам:

mv

2

W

.

к

2

2. Кинетическая энергия механической системы

Кинетическая энергия механической системы равна сумме энергий тел (материальных точек), составляющих эту систему:

W

W

;

к

кi

W

Mv2

C (M – масса системы, vC – скорость центра масс)!

к

2

Кинетическая энергия поступательного движения тела: Wк

mv

2

2

тела, v – модуль его скорости.

3. Кинетическая энергия вращательного движения твёрдого тела

кинетических

(6.1)

, где m – масса

Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна произведению момента инерции тела на квадрат его угловой скорости, делённый пополам:

2

W

Iω

к

2

.

Доказательство

Пусть твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси (РИС. 5.6). Разобьём тело на малые фрагменты массой

скую энергию по определению (6.1) (с учётом того, что vi

z с mi.

угловой скоростью

ω

Вычислим кинетиче-

ωri

):

2

1

2

к

кi

m v

i

i

2

ω

i

i

W

W

m ω r

2

2

2

2

2

mr

2

Iω

i i

2

, ч. т. д.

4. Кинетическая энергия плоского25 движения твёрдого тела

Теорема Кёнига: кинетическая энергия твёрдого тела, совершающего плоское движение, равна сумме кинетической энергии поступательного движения этого тела, движущегося со скоростью, равной скорости центра масс тела, и вращения

25 Можно сформулировать эту теорему для общего случая сложного движения, если рассматривать второе слагаемое как кинетическую энергию вращения вокруг центра масс.

57

тела вокруг оси, проходящей через центр масс тела перпендикулярно плоскости движения:

mv

2

I

2

W

ω

C

C

к

2

2

Доказательство

.

Пусть твёрдое тело массы m совершает плоское движение. Разобьём тело на малые фрагменты массой mi. Вычислим кинетическую энергию тела по определе-

нию (6.1):

2

1

к

кi

m v

i

i

W

W

2

2

mi vC

i

u

2

,

где скорость i-го фрагмента vi vC ui , ui – скорость этого фрагмента относи-

тельно центра масс тела (см. ВЫВОД ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ТВЁРДОГО ТЕЛА, СОВЕРШАЮЩЕГО ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ). Продолжим преобразования:

W

1

к

2

2

dρ

1

i C

i C i

i i

v

i C

i

C

i

2

2

m v u

2

m v

m

m v

mu

2

dt

2

2

2

m ω ρ

i

i

,

здесь ρi – радиус-вектор i-го фрагмента, проведённый из центра масс, и

ω – угловая скорость тела. Очевидно, mi m – массе тела. Далее:

u

dρ

i

i

dt

;

2

d

i i

2

2

I

2

к

mv

C

ω

i i

mv

ω

W

C

v

m ρ

m ρ

C

C

2

2

dt

2

2

2

0, т. к. точка C – центр масс

IC

1.8.2. Работа и мощность

Работа – энергетическая характеристика взаимодействия26; [A] = Дж.

, ч. т. д.

1. Элементарная работа

Элементарная работа равна скалярному произведению силы на элементарное (бесконечно малое) перемещение точки приложения этой силы (РИС. 6.1):

dA Fdl Fdlcos

l

F ,dl

F dl

.

Вектор элементарного перемещения всегда направлен по касательной к траектории; Fl – проекция вектора силы на это направление.

2. Работа

Работа равна сумме (интегралу) элементарных работ по траектории точки приложения силы:

A dA Fdl Fldl .

l

l

l

26 Так как работа – это характеристика взаимодействия, допустимо говорить «работа такого-то объекта», т. е. источника этого взаимодействия, и «работа силы», т. е. характеристики этого взаимодействия (первый вариант предпочтительнее); например, «работа гравитационного поля Земли» или «работа силы тяжести».

58

Здесь l – траектория точки B приложения силы (кривая 1-2 на РИС. 6.1); Графический смысл работы: площадь под кривой Fl(l) равна модулю работы силы

F

по траектории l (РИС. 6.2).

Fl

A

B

α

l

1

2

0

1

2 l

Рис. 6.1

Рис. 6.2

3. Работа при вращательном движении твёрдого тела

Пусть сила F приложена к точке B твёрдого тела, находящейся на расстоянии r от оси вращения z (РИС. 6.3А). Элементарная работа, которую совершает эта сила, ко-

гда тело совершает элементарное угловое перемещение

dφ

dA Fdl Fdlcosα

(см. РИС. 6.3Б).

z

O

z

r

B

r dφ

α

B

а

б

Рис. 6.3

Модуль линейного перемещения точки B – длина малой дуги

dl r dφ;

π

dφ Mzdφ ;

dA Fr cosα dφ Fr sin

α

2

dA Mdφ

.

4. Мощность

Мощность – энергетическая характеристика взаимодействия, равная скорости совершения работы;

[N] = Вт.

Смотрите также файлы