Файл: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.03.2025

Просмотров: 3954

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

40

Преобразуем векторное произведение в левой выражение для ускорения материальной точки

a

εr

ω ωr

i

i

i

части уравнения (4.3), используя

(2.5)

.

Для этого воспользуемся известной из векторного анализа формулой двойного векторного произведения

a bc b ac

r a

εr

r

εr

2

r

εr

ri

ω ωr

i

i

i

i

i

i

i

i

Подставляя этот результат в (4.2), получим

m r

2

ε M

e

i i

i

c ab :

0, т. к.

i

i

i

i

i

i

2

εr

2

2

r ω ωr

rω

ω

r r

i

Mki .

k i

εr

2

i

.

Просуммируем эти равенства по всем фрагментам твёрдого тела – по i:

i i

2

ε

i

e

i

m r

M

Mki

i

i

i k i

0

(равенство последнего слагаемого – суммы моментов всех внутренних сил – нулю студентам следует доказать самостоятельно),

ε i

m r

2

M

e

i

i i

i

.

Сумма в левой части этого равенства не зависит от взаимодействий, а определяется только геометрией тела и расположением оси вращения. Введём величину

I

i i

m r

2

i

(4.4)

– момент инерции тела относительно оси. Получим

Iε M

– основное уравнение динамики вращательного движения. Здесь вектор моментов внешних сил.

M

– главный

Основное уравнение динамики вращательного движения можно записать и относительно подвижной оси, проходящей через центр масс тела (доказать само-

стоятельно). Демонстрация: Момент силы

1.5.3. Момент инерции

Если в определении (4.4) положить mi → 0, то момент инерции тела относи-

тельно оси

M

I r2dm ; [I] = кг·м2.

0

Момент инерции – мера инертности тела во вращательном движении – скалярная физическая величина, зависящая от формы и размеров тела. Момент инерции

– аддитивная величина.

Момент инерции тела относительно точки:

41

M

,

I

2

r dm

0

где r – расстояние от полюса до элемента dm; M – масса тела.

Момент инерции тела относительно оси:

M

I

2

r dm

,

0

где r – расстояние от оси до элемента dm.

ПРИМЕРЫ РАСЧЁТА МОМЕНТА ИНЕРЦИИ

1. Тонкое кольцо (полый цилиндр)

Найти момент инерции тонкого однородного кольца массы m и радиуса R относительно его оси, т. е. относительно оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости (РИС. 4.4).

Разобьём кольцо на бесконечно малые элементы – дуги массой dm. Каждый элемент dm находится на расстоянии R от оси z. Элементарный момент инерции dI = dm·R2. Проинтегрируем по всей массе кольца:

m

I

2

2

.

r dm mR

0

2. Тонкий стержень

z

m

R

O

dm

Рис. 4.4

Найти момент инерции тонкого однородного стержня массы m и длины l относительно оси: а) проходящей через середину стержня перпендикулярно ему, б) проходящей через один из концов стержня перпендикулярно ему (РИС. 4.5).

z

z

m, l

r

dm

r

dm

m, l

O

O

dr

dr

а

б

Рис. 4.5

Разобьём стержень на бесконечно малые элементы – отрезки длиной dr. Каждый такой отрезок будет иметь массу dm = τdr, где τ ml – линейная плотность

стержня (она постоянна по длине стержня, так как стержень однородный). Эле-

ментарный момент инерции

dI dm r

2

m

2

l

r dr , где r – расстояние от оси z до

элемента dm.

В случае А) момент инерции

42

l 2

m

2m r

3

l

2

2ml

3

ml

2

I 2

2

l

r dr

l

3

3l 8

12

0

0

.

Расчёт в случае Б) отличается пределами интегрирования:

l

m

m r

3

l

2

ml

3

ml

2

2

I

l

r dr

l

3

3l

3

.

0

0

3. Однородный диск (сплошной цилиндр)

Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R относительно его

оси (РИС. 4.6).

Воспользуемся результатом решения задачи о МО-

z

МЕНТЕ ИНЕРЦИИ ТОНКОГО КОЛЬЦА. Разобьём диск на бес-

конечно тонкие кольца толщиной dr. Момент инер-

dm

m

ции кольца радиуса r и толщиной dr: dI = dm·r2, где

r O

масса бесконечно тонкого кольца

dm = σ·dS,

R

dS = 2πrdr – площадь этого кольца, а σ

m

– по-

dr

πR

2

верхностная плотность диска, т. е. масса единично-

го участка поверхности диска. Получим

dI

m

πR

2

4. Однородная сфера

2πrdr

r

2

2m

3

R

2

r dr

R

2m

I

3

R

2

r dr

0

,

2m r

4

R

mR

2

R

2

4

2

0

.

Рис. 4.6

Найти момент инерции однородной сферы массы m и радиуса R относительно оси, проходящей через её центр (РИС. 4.7).

Разобьём сферу на малые участки массой dm. Мо-

z

мент инерции такого участка относительно оси z

dIz dm r

2

dm x

2

y

2

.

dm

r

Аналогично

m

dIx dm y2 z2 , dIy

dm x2 z2 .

O

Момент инерции элемента dm относительно цен-

y

тра сферы – точки O

R

dI0 dm R

2

dm x

2

y

2

z

2

.

x

Найдём моменты инерции всей сферы:

Рис. 4.7

43

m

x

y

dm,

Iz

2

2

0

m

y

2

z

2

dm,

Ix

0

m

x

dm;

z

Iy

2

2

0

m

1

m

I0

x

2

y

2

z

2

dm

2x

2

2y

2

2z

2

dm

0

2

0

1

3

m

m

m

x

y

y

z

z

dm

Iz ,

2

2

dm

2

2

dm x

2

2

2

0

0

0

2

Iz

Ix

Iy

так как Iz = Ix = Iy из-за сферической симметрии. Но I0 = mR2, поэтому

Iz

2I0

3

2

mR

2

3

.

5. Однородный шар

Найти момент инерции однородного шара массы m и радиуса R относительно оси, проходящей через его центр.

I2mR2

5

(доказать самостоятельно, используя результат ПРЕДЫДУЩЕЙ ЗАДАЧИ.)

Теорема Штейнера

Момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме момента инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно данной оси, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

I IC

Доказательство

md2

.

Пусть z – ось, относительно которой нужно найти момент инерции тела массы m; точка C – центр масс тела; z0 – ось, проходящая через точку C параллельно оси z; d

– расстояние между этими осями (РИС. 4.8А). Разобьём тело на малые фрагменты массы dm.

Смотрите также файлы