Файл: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.03.2025

Просмотров: 3990

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

59

Средняя мощность равна отношению работы к промежутку времени, за который эта работа совершена:

N

A t

.

Мгновенная мощность равна мгновенной скорости совершения работы – производной работы по времени

N dAdt .

Преобразуем это выражение с учётом определения элементарной работы:

N

dA

Fdl

dt

dt

N F v

где v – скорость точки приложения силы.

,

F v

;

1.8.3. Теорема об изменении кинетической энергии

Изменение кинетической энергии механической системы равно сумме работ внешних и внутренних сил:

e

i

W A

A

.

к

Доказательство

Рассмотрим материальную точку массы m, которая испытывает воздействие, описываемое силой

F . Точка движется по кривой 1-2 (РИС. 6.4). Элементарная работа на перемещении dl

dA Fdl .

С учётом того, что dl vdt , где v – скорость материальной точки, работа по перемещению точки по траектории 1-2

2

t2

A

Fdl

F vdt ,

1

t

1

m

t1

1 t2

2

Рис. 6.4

где t1 и t2 – моменты времени, в которые материальная точка проходит соответственно положения 1 и 2.

По II закону Ньютона F ma , а ускорение a

dv

, поэтому

dt

t

t

v

v

2

2

2

2

dv

mv

2

2

mv

mv

2

A

mavdt m

v

dt m

vdv

к2

к1

к

2

1

t

1

t

1

dt

v

2

v

2

2

1

1

(здесь v1, v2 – модули скорости материальной точки соответственно в положениях

1 и 2).

Теперь рассмотрим механическую систему. Для i-ой материальной точки, входящей в эту систему,

Ai Wк2i Wк1i .

60

Просуммируем это выражение по всем точкам:

A

A

W

W

W

W

i

к2i

к1i

к2

к1

Wк

, ч. т. д.

В этом доказательстве мы не делали никаких различий между внешними и внутренними силами и их работами, поэтому подразумевается, что A = Ae + Ai.

1.8.4. Потенциальная энергия материальной точки

Поле (в математике) – величина как функция радиуса-вектора (или координат). Задать силу как функцию радиуса-вектора материальной точки, воздействие на которую описывается этой силой, значит задать силовое поле.

Поле в физике – физический объект (см. РАЗДЕЛ 0.1 и, более подробно, 3.1.1).

Поле потенциально (сила потенциальна), если работа поля при перемещении материальной точки по замкнутой траектории равна нулю (иначе говоря, циркуляция силы по замкнутому контуру равна нулю):

A1 1

0

,

Fdl 0

L

.

В этом случае работа поля по перемещению материальной точки не зависит от формы её траектории, а зависит только от начального и конечного положения точки.

Доказательство

3

1

4

Пусть в потенциальном поле материальная точка пе-

2ремещается из положения 1 в положение 2 сначала по траектории 1-3-2, а затем по траектории 1-4-2 (РИС. 6.5). Работа по замкнутой траектории 1-3-2-4-1

A

0

13241

Рис. 6.5

по определению потенциального поля. Но, согласно

определению работы,

A

A

A

A

A

13241

132

241

132

142

A132

A142

, ч. т. д.

Изменением потенциальной энергии материальной точки при перемещении точки из положения 1 в положение 2 называется работа потенциального поля, совершаемая при этом перемещении, взятая с обратным знаком:

W

A

п

п12

12

.

Потенциальная энергия материальной точки – работа потенциального поля по перемещению материальной точки в данное положение из точки, где потенциальная энергия принята равной нулю, взятая с обратным знаком:

1

Wп 0

Wп Aп

Fdl

Fdl

.

Wп 0

1

Физический смысл имеет изменение потенциальной энергии. Сама же по себе потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной. При ответе на вопрос, чему равна потенциальная энергия, нужно обязательно указывать, где выбрано начало её отсчёта (нулевой уровень).

61

ПРИМЕРЫ РАСЧЁТА РАБОТЫ И ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ

1. Работа силы сухого трения

Пусть материальная точка B скользит по шеро-

l

ховатой плоской поверхности по траектории l,

B

соединяющей начальную и конечную точки 1 и 2

(РИС. 6.6). Сила трения F тр постоянна по модулю

1

2

(Fтр = Fтр max, см. РАЗДЕЛ 1.4.5) и всегда направлена

противоположно элементарному

перемещению

Рис. 6.6

dl , т. е.

Fтр ,dl

π . Элементарная работа

dA Fтрdl Fтрdlcosπ Fтрdl ,

работа при перемещении из точки 1 в точку 2

A

Fтрdl Fтрl .

l

Видно, что работа силы трения зависит от длины траектории, соединяющей

начальную и конечную точки, следовательно, сила трения не является потенци-

альной.

2. Работа силы упругости

Пусть пружина жёсткостью k растягивается из состояния с деформацией x1 до де-

формации x2 (РИС. 6.7). В промежуточном положении x сила упругости

Fупр kxi .

Элементарная работа при увеличении деформации на dl dxi

dA Fупрdl kxi dxi kxdx ;

полная работа при растягивании пружины от x1 до x2

x2

kx

2

x

2

kx

2

kx

2

2

1

A

kxdx

.

2

2

2

x

x

1

1

dx

k

0

x1

x

x2

x

Рис. 6.7

Эта работа не зависит от того, каким образом пружина переходит от деформации

x1 к деформации x2, значит, сила упругости потенциальна. Изменение потенци-

альной энергии

A

kx

2

kx

2

W

2

1

п12

2

2

.

Положим начало отсчёта потенциальной энергии в положении недеформированной пружины: Wп(0) = 0; при этом потенциальная энергия деформированной пружины

62

W

kx

2

.

п

2

3. Работа силы тяжести

Пусть материальная точка массы m перемещается из точки 1 в точку 2 по траектории l (РИС. 6.8).

Элементарная работа силы тяжести

Fт mg

на

малом перемещении dl

dA F dl F dlcosα F dh mgdh

т

т

т

(знак «–» появляется из-за того, что изменение высоты отрицательно). Полная работа

1 l

m

α dh

h1

2 h

0

h2

h

2

2

A

mgdh mg h

h

1

h1

,

Рис. 6.8

где h1 – высота точки 1 над нулевым уровнем, h2 – высота точки 2. Эта работа не зависит от формы траектории l, а определяется только высотой начального и конечного положений материальной точки массой m, следовательно, сила тяжести потенциальна. Аналогично, любое однородное поле будет потенциальным.

Изменение потенциальной энергии

Wп12

mg h2

h

1

.

Положим начало отсчёта потенциальной энергии на нулевом уровне: Wп = 0 при h = 0, тогда потенциальная энергия тела массы m в однородном гравитационном поле (поле тяжести)

Wп

mgh

27.

4. Поле центральных сил

Центральная сила – сила, модуль которой зависит только от расстояния от точки, называемой силовым центром, направленная вдоль радиуса-вектора, соединяющего O центр силы с точкой приложения силы:

F f r

r

.

r

Пусть материальная точка B движется в поле центральной силы F (силовой центр – точка

1 l

B

α

2

Рис. 6.9

O) от точки 1 к точке 2 по траектории l (РИС. 6.9).Работа силы F

2

2

2

A12 Fdl Fdlcosα Frdr .

1

1

1

Эта величина может зависеть только от r1 и r2, поэтому центральное поле потенциально. Потенциальная энергия

27 Это выражение не является определением потенциальной энергии, как ошибочно полагают многие студенты.

Смотрите также файлы