Файл: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.03.2025

Просмотров: 4003

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

63

W 0

п

r dr

W

F

.

(6.2)

п

r

r

Частный случай

Гравитационное поле (см. РАЗДЕЛ 1.4.5)

Пусть материальная точка массы m находится в гравитационном поле тела массы M на расстоянии

r от его центра масс (РИС. 6.10). По закону всемир- M  m ного тяготения

F

r

GMm

2

r

r

,

Рис. 6.10

G – гравитационная постоянная. Положим начало отсчёта потенциальной энергии в бесконечно удалённой точке: Wп(∞) = 0. Согласно (6.2),

GMm

GMm

п

dr

2

W

r

r

r

r

GMm

r

.

1.8.5. Градиент

Из определения потенциальной энергии

dWп dA Fdl F

dW

.

п

dl

Это записывается как

FWп gradWп .

– оператор «набла» – оператор векторного дифференцирования картовых координатах

i

j

k ,

x

y

z

– частная производная функции трёх переменных x, y, z по x и т. д.

x

d

dl

, в де-

Градиент – произведение вектора на скалярную функцию – векторная функция скалярного аргумента; в декартовых координатах

gradW W

W

i

W

п

п

п

п

x

y

j

W

п

z

k

.

(6.3)

Направление градиента совпадает с направлением наиболее быстрого возрастания скалярной функции. Из II закона Ньютона

F ma,

a

F gradW

п

gradW

п

(здесь a – ускорение материальной точки, m – её масса). Материальная точка ускоряется в направлении, противоположном градиенту потенциальной энергии.

В точках, где grad Wп = 0, a 0 и материальная точка находится в положении рав-

64

новесия. Устойчивое равновесие имеет место в точках, соответствующих минимуму потенциальной энергии.

ПРИМЕР

Дана зависимость потенциальной энергии материальной точки в некотором поле от декартовых координат: Wп = axyz, где a – постоянная. Найти силу, с которой поле действует на материальную точку, как функцию координат.

Из (6.3) получим

W

i

W

j

W

a yzi xz j xyk .

F gradWп

п

п

п

k

x

y

z

Видно, что F 0

в любой точке на всех трёх осях декартовой системы координат –

там имеет место равновесие (устойчивое при a > 0 и неустойчивое при a < 0).

1.8.6. Потенциальная энергия механической системы

Если механическая система находится во внешних потенциальных полях, а также взаимодействие тел, входящих в эту систему, описывается потенциальными силами, то можно характеризовать состояние системы потенциальной энергией.

Потенциальная энергия механической системы равна работе внешних и внут-

ренних потенциальных сил при переходе системы из данной конфигурации в конфигурацию, где потенциальная энергия системы принята равной нулю (конфигурация системы – это совокупность координат тел (материальных точек), входящих в эту систему):

Wп A Wп 0 AWп 0 .

ПРИМЕР

Потенциальная энергия системы двух гравитирующих тел

Рассмотрим систему из двух тел массами M и m, взаимодействующих гравитационно. Расстояние между центрами масс этих тел равно r (РИС. 6.10). Найти потенциальную энергию системы.

Единственная сила, которая здесь учитывается, гравитационная сила - внутренняя и ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ. Положим начало отсчёта потенциальной энергии в бесконечно удалённой точке: Wп(∞) = 0. Найдём работу гравитационной силы при удалении тела массой m (или тела массой M) в бесконечность. Она будет равна потенциальной энергии системы

F r dr

GMm

GMm

W A

dr

2

п

r

r

r

r

r

r

здесь G – гравитационная постоянная.

GMm

r

,

65

Лекция 7

1.8.7. Закон сохранения и изменения механической энергии

Рассмотрим механическую систему; тела, входящие в эту систему, претерпевают внешние и внутренние воздействия, описываемые потенциальными и непотенциальными силами, и конфигурация системы изменяется. Изменение кинетической энергии системы (см. РАЗДЕЛ 1.8.3) равно сумме работ внешних и внутренних сил:

Wк

A

A

A

e п

e нп

i п

Ai

нп

,

где Ae п – сумма работ внешних потенциальных сил, Ai нп – сумма работ внутренних непотенциальных сил и т. п. Перенесём работу потенциальных сил в левую часть этого равенства:

W A

A

e п

i п

к

Wп

В левой части равенства (7.1) стоит сумма альной энергии системы. Введём величину

W Wк

e нп

i нп

.

(7.1)

A

A

изменений кинетической и потенци-

Wп

– механическая энергия системы – сумма кинетической и потенциальной энергии. Соответственно левая часть уравнения (7.1) равна изменению механической энергии системы. Т. е.

W A

A

e нп

i нп

– закон изменения механической энергии системы: изменение механической энергии системы равно сумме работ внешних и внутренних непотенциальных сил.

Закон сохранения механической энергии: механическая энергия системы не из-

меняется с течением времени, если сумма работ внешних и внутренних непотенциальных сил равна нулю, а все внешние потенциальные силы стационарны (т. е. не зависят явным образом от времени).

Консервативные силы – потенциальные силы и непотенциальные силы, работы которых равна нулю.

Диссипативные силы – непотенциальные силы, работы которых не равна нулю.

При наличии взаимодействий, описываемых диссипативными силами, происходит диссипация энергии – переход механической энергии в другие виды энергии.

Демонстрации: 1) Маятник Максвелла 2) «Мёртвая петля»

1.9. Удар

1.9.1. Абсолютно неупругий удар

Абсолютно неупругий удар – удар, после которого соударяющиеся тела движутся как единое целое.

При неупругом ударе импульс системы соударяющихся тел сохраняется, а механическая энергия – нет. Происходит диссипация энергии.

66

Рассмотрим абсолютно неупругое центральное соударение двух шаров. (Цен-

тральное соударение – соударение, перед которым шары движутся по прямой, соединяющей их центры.) Массы шаров равны m1 и m2, их скорости до соударения –

соответственно v1

и v2 (РИС. 7.1). Найдём скорость

u

шаров после удара.

До удара:

m1

m2

После удара:

m1 + m2

x

Рис. 7.1

Закон сохранения импульса:

m1 v1 m2 v2 m1 m2 u .

Спроецируем это равенство на ось x (вдоль направления движения шаров):

m1v1x m2v2x m1 m2 ux .

Отсюда получим

ux

m v

m v

.

1

1x

2

2x

m m

1

2

В этой формуле содержится информация о модуле и о направлении скоростей ша-

ров;

u

ux

.

Найдём долю η механической энергии, перешедшей во внутреннюю при ударе:

η

W

W

W

1

W

,

к

к1

к2

к2

W

W

W

к1

к1

к1

здесь Wк1 – кинетическая энергия системы до удара, Wк2 – после удара, Wк – из-

менение кинетической энергии при ударе;

W

m v2

m v2

1

1

2

2 ,

к1

2

2

m m

u2

m m

m v

m v

2

m v

m v

2

Wк2

1

2

1

2

1 1x

2 2x

1 1x

2 2x

,

2

2 m m

2

2 m1 m2

1

2

m v

m v

2

η 1

1 1x

2

2x

.

1

2

1

1

2

2

m m

2

m v

2

m v

Если шары до соударения двигались в одну сторону, то v1x = v1, v2x = v2 и

2

2

2

2

2

2

2

2

2m m v v

2

2

η

m v

m m v

m m v

m v

m v

m v

1

1

1

2

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

2

2

2

1

1

1

2

m m

2

m v

2

m v

m

1

m m

v

v

2

1

2

1

1

2

2

2

2

1

m

2

m v

2

m v

.

Если же шары двигались в разные стороны, то

m m

v

v

2

η

1

2

1

2

.

m1 m2 m1v12 m2v22

При v2 = 0

67

η

m

2

m m

1

2

.

1.9.2. Абсолютно упругий удар

Абсолютно неупругий удар – удар, при котором соударяющиеся тела испытывают упругую деформацию.

При абсолютно упругом ударе сохраняется и импульс, и механическая энергия системы соударяющихся тел.

Рассмотрим абсолютно упругое центральное соударение двух шаров. Массы шаров равны m1 и m2, их скорости до соударения – соответственно v1 и v2 (РИС. 7.2).

Найдём скорости u1

и u2

шаров после удара.

До удара:

m1

m2

После удара:

m1

m2

x

Рис. 7.2

Закон сохранения импульса:

m1 v1 m2 v2 m1u1

Закон сохранения механической энергии:

m v

2

m v

2

2

m u

1

1

2

2

1

1

2

2

2

m2u2

2

m u

2

2

2

.

.

(7.2)

(7.3)

Спроецируем векторное равенство (7.2) на ось x (вдоль направления движения

шаров), преобразуем уравнение (7.3) (подставим

2

2

и т. п.) и запишем систе-

v1

v1x

му уравнений

m v

m v

m u

m u

,

1 1x

2 2x

1 1x

2

2x

m v2

m u2

m u2 .

m v2

1 1x

2 2x

1 1x

2

2x

Решим эту систему самым быстрым способом:

m v

m u

m u

m v

,

1

1x

1

1x

2

2x

2

2x

2

2

2

m v

2

;

m v

m u

m u

1

1x

1

1x

2

2x

2

2x

затем разделим нижнее уравнение на верхнее и исключим u2x:

v

u

v

u

2

2

2

2

1x

1x

2x

2x

v

u

v

u

1x

1x

2x

2x

v1x u1x v2x u2x

u2x

v1x

v2x

u1x

,

m1v1x m1u1x m2v1x m2

m v

m v

2m v

1 1x

2 1x

2

2x

u

m1 m2 v1x 2m2v2x

,

u

1x

m1

m2

2x

v2x m2u1x m2v2x ,

m1 m2 u1x ,

m2 m1 v2x 2m1v1x

.

(7.4)

m1 m2

Смотрите также файлы