Файл: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.03.2025

Просмотров: 3987

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

113

2. Инвариантность длины отрезка

y

y′

Пусть отрезок

1-2

покоится относи-

t

t′

тельно системы отсчёта K′

(РИС. 14.3).

2

l′

Его длина в этой системе отсчёта равна

1

l′. Выразим l′ через координаты концов

отрезка в системе K′:

2

2

l

.

x2

x1

y2 y1

K′

Свяжем координаты концов стержня в

O′

x′

K

системе отсчёта K′

с координатами в

системе отсчёта K через преобразова-

O

x1

x2

x

ния Галилея:

l x

vt x

2

y

2

Рис. 14.3

2

1

vt

y

2

1

x

x

2

y

2

l

2

1

y

2

1

– длина отрезка в системе отсчёта K. Это означает, что длина отрезка – инвариант преобразований Галилея:

l l inv .

3. Инвариантность интервала времени

Пусть интервал времени между двумя событиями 1 и 2 в системе отсчёта K′

t t 2

t 1

.

Интервал времени между теми же событиями в системе отсчёта K

Так как

t

1

t

1

и

t2

t 2

t

,

t

t2 t

t . 1

inv

.

4. Классический закон сложения скоростей

Пусть материальная точка движется со скоростью счёта K′. Тогда её скорость в системе отсчёта K

u u v

.

Доказательство

По определению скорости

ux

dx

dx

.

dt

, ux

dt

u

относительно системы от-

Выразим ux через координату и время в системе отсчёта K′:

ux

dx vdt

dx

dt

dt

v ux v .

Аналогично получим

u

y

dy , u

dy u

y

u

;

dt

y

dt

y

u u

.

z

z

114

5. Инвариантность ускорения

По определению, ускорение материальной точки в системе отсчёта K′

du

,

a

dt

в системе отсчёта K

a

du

dt

(здесь мы используем те же обозначения, что в ПРЕДЫДУЩЕМ ПОДРАЗДЕЛЕ). Воспользуемся классическим законом сложения скоростей:

d u v

du

a ;

u

u v , a

dt

dt

a a inv

.

6. Инвариантность массы и силы

Постулируется, что масса и сила – инварианты преобразований Галилея:

F F inv

m m inv

,

.

II закон Ньютона инвариантен относительно преобразований Галилея:

F

F ma .

ma

1.12. Специальная теория относительности

1.12.1. 4-пространство

Время относительно, как и пространство. Введём 4-пространство – линейное риманово (неевклидово) пространство координат и времени.

4-радиус-вектор:

ict

x

r

,

y

z

здесь c – константа, имеющая размерность скорости; i – мнимая единица. Модуль 4-радиуса-вектора

r x2 y2 z2 c2t2 inv

(доказательство см. «ИНВАРИАНТНОСТЬ ИНТЕРВАЛА»).

Мировая точка – точка в 4-пространстве. Мировая линия – кривая в 4-пространстве.

ПРИМЕР

Материальная точка покоится в 4-пространстве. Мировая линия – траектория этой материальной точки в 4-пространстве (вернее, двумерная её проекция) – изображена на РИС. 14.4.

115

x

0

ict

Рис. 14.4

1.12.2. Преобразования Лоренца

II закон Ньютона инвариантен относительно преобразований Галилея, а уравнения Максвелла (см. 3.1.6) – нет. Надо получить другие преобразования, опираясь на свойства симметрии пространства-времени38 (см. 1.1.2).

Пусть имеются две инерциальные системы отсчёта K и K′. Система K′ движется

относительно системы K со скоростью v (РИС. 14.2). В момент совмещения начал координат часы синхронизированы: x = x′ = y = y′ = z = z′, t = t′.

Искомые преобразования должны иметь вид

x f x

t g x,

где f и g – функции, которые нужно найти.

При сдвиге координаты в системе отсчёта щие сдвиги в системе K′

,t,v , t ,v ,

K на x и времени на t соответствую-

x

f x x,t t,v f x,t ,v ,

t g x x,t t,v g x,t ,v .

Это возможно только тогда, когда f и g – линейные функции x и t:

x a x a vt ,

1

2

a

x a t.

t

3

v

4

Коэффициенты a1, a2, a3, a4 безразмерны. Их можно найти с помощью элементарных преобразований. В результате получаются преобразования Лоренца, приведённые в ТАБЛИЦЕ 14.2.

38 Упрощённый вывод (для двумерного пространства-времени x, t) приведён в ПРИЛОЖЕНИИ. Делать его на лекции не рекомендуется из-за громоздкости элементарных алгебраических преобразований.

K′ → K

x

x vt

2

1

v

c

2

yy

zz

t

v

x

c

2

t

2

1

v

c

2

116

Таблица 14.2

Преобразования Лоренца

K → K′

x

x vt

2

1

v

c

2

y y

z z

t

v

x

t

c

2

2

1

v

c

2

Здесь c = const. Видно, что v < c, т. е. c – предельная скорость. Из опыта известно, что c – скорость света в вакууме.

При v << c преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.

Подчеркнём, что преобразования Лоренца выводятся из свойств симметрии про- странства-времени и не требуют других допущений. Однако, во многих учебниках (например, [1]) преобразования Лоренца выводятся другим способом – через постулаты Эйнштейна.

Постулаты Эйнштейна

1.ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

2.Скорость распространения взаимодействий инвариантна относительно преобразований.

117

Лекция 15

1.12.3. Следствия из преобразований Лоренца

1. Инвариантность интервала

Интервал между событиями 1 и 2

2

2

2

2

2

2

S

c

t

t

x

x

y

y

z

z

.

12

2

1

2

1

2

1

2

1

Интервал – инвариант преобразований Лоренца:

S12 inv .

Доказательство

Докажем, что малый интервал – дифференциал интервала dS12 образований Лоренца:

2

2

2

dx

2

dy

2

dz

2

2

2

2

dx

2

dy

2

dS12

c dt

, dS12

c dt

через время и координаты в системе отсчёта K:

Выразим dS12

– инвариант пре-

dz

2

.

dt

v

dx

c

2

dt

2

v

1

c

2

, dx

dx vdt

2

v

1

c

2

,

dy dy

,

dz dz

;

2 2

v2

2

2

2

2

c dt

dx

2vdxdt dx

v dt

2vdxdt

dy2 dz2

dS 2

c2

12

1

v2

c2

2

c2 v2 dt2

v

1

dx2

2

c

2

2

2 2

2

2

2

2

dy

dz

c dt

dx

dy

dz

dS12

,

v

2

1

c2

ч. т. д.

2. Сокращение длины движущегося отрезка (лоренцево сокращение)

y

t

y′

t′

l0

1 2

K′

O′

x′

K

O

x1

x2

x

Рис. 15.1

Пусть отрезок 1-2 покоится относительно системы отсчёта K′; для простоты расположим его вдоль оси x′ (РИС. 15.1). Длина отрезка в системе отсчёта, в которой он покоится, – соб-

ственная длина отрезка l0 l .

Выразим длину отрезка в системах отсчёта K′ и K через координаты его концов:

l x x ,

0 2 1

l x2 x1.

Выразим l0 через координаты и время в системе отсчёта K:

Смотрите также файлы