Файл: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.03.2025

Просмотров: 4019

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

118

l

x

2

vt

x

1

vt

x

2

x

1

l

0

v

2

v

2

v

2

v

2

1

1

1

1

c

2

c

2

c

2

c

2

,

время t в обоих слагаемых этой формулы одно и то же, так как измерение координат x1 и x2 проводится одновременно. Получается, что

v

2

l l

1

2

0

c

,

l < l0 – длина движущегося отрезка меньше длины покоящегося.

3. Замедление хода движущихся часов

y

y′

Имеются часы с пружинным (или дру-

t

t′

гим) маятником, покоящиеся относи-

тельно системы отсчёта K′ (РИС. 15.2).

Период колебаний маятника в системе

отсчёта,

относительно которой

точка

подвеса маятника покоится ( x1 x2 ), –

K′

период собственных колебаний

T0 T

,

O′

x′

K

T t

t

[события 1 и 2 – два последо-

2

1

O

x

вательных прохождения маятником

положения равновесия (или любой

Рис. 15.2

другой фазы колебаний]. В системе от-

счёта K события 1 и 2 происходят в

точках с разными координатами x1 и x2, период колебаний маятника

T t2 t1 .

Выразим эту величину через координаты и время в системе отсчёта K′:

t

v

x

t

v

x

t

t

T

2

c

2

2

1

c

2

1

2

1

,

2

2

2

v

v

v

1

1

1

c

2

c

2

c

2

T

T

0

v

2

1

c

2

T > T0 – ход движущихся часов замедляется.

4. Относительность одновременности

Если события 1 и 2 в системе отсчёта K′ происходят в одно и то же время (t

t ),

2

1

но в разных местах ( x

x ), то t2 ≠ t1 – эти события не одновременны в системе

2

1

отсчёта K. Это следует из преобразований Лоренца.

При t

t

и x

x возможно t2 < t1. Однако, если между событиями 1 и 2 имеется

2

1

2

1

причинно-следственная связь, то она не нарушается и t2 > t1.

119

5. Релятивистский закон сложения скоростей

y

t

y′

t′

Пусть материальная точка M движется

со скоростью u относительно системы отсчёта K′ (РИС. 15.3). Найдём её скорость в системе отсчёта K.

По определению, проекции скорости в системе отсчёта K′

K′

O′

x′

K

O

x

Рис. 15.3

наты и скорости в системе отсчёта K′:

dx

dy

dz

;

ux

dt

, uy

dt

, uz

dt

в системе отсчёта K

ux

dx

, uy

dy

, uz

dz

.

dt

dt

dt

Выразим эти проекции через коорди-

ux

Итак,

dx vdt

dt

v

dx

c

2

dx

, dy dy ,

dz dz ,

dt

;

v

2

v

2

1

1

c

2

c

2

v

2

v

2

v

2

dy

1

u

1

u

1

dx vdt

u

v

c

2

y

c

2

z

c

2

x

, uy

, uz

dt

v

dx

1

v

u

dt

v

dx

1

v

u

1

v

u

2

2

2

2

2

c

c

x

c

c

x

c

x

u

1

v2

u

1 v2

u

v

y

c

2

, u

z

c

2

u

x

, u

.

y

x

v u

v

u

z

v u

1

1

1

c2

x

c2

x

c2

x

.

Ускорение не является инвариантом преобразований Лоренца. Формулы для преобразования компонент ускорений можно получить аналогичным образом – исходя из определения и преобразований Лоренца:

adux

xdt

du

x

, ax

dt

…

1.13. Релятивистская динамика

1.13.1. Релятивистский импульс

Рассмотрим замкнутую механическую систему – два груза одинаковой массы m0, соединённых пружиной (РИС. 15.4). В системе отсчёта K′ центр масс данной механической системы покоится. В начальном состоянии пружина сжата, затем она

разжимается и грузы движутся со скоростями

u 1

и u 2

.

Должен выполняться закон сохранения импульса: импульс данной замкнутой механической системы должен сохраняться в любой инерциальной системе отсчёта.

120

y

t

y′

t′

m0

m0

K′

K

O′

x′

O

Рис. 15.4

x

Определим импульс материальной точки, как в классической механике:

p m0u .

Используя РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ, получим в системе отсчёта K:

проекция начального импульса системы на ось x

P1x 2m0v

,

проекция конечного импульса

P

m

v u

m

v u

.

2x

0

v

u

0

v

u

1

1

c2

c2

Видно, что P1x ≠ P2x. Получается., что в системе отсчёта K закон сохранения не выполняется, чего не может быть.

Подберём такое выражение для импульса, чтобы py py . (В классической механи-

ке py m0 dydt ; так как dy = dy′, а dt = dt′, то при таком определении

py

py

.) Возь-

мём в качестве элементарного интервала времени собственное время dτ = dτ′. Тогда

m0

dy

m0

dy

py .

py

dτ

dτ

2

Но dτ dt 1

u

, поэтому

c

2

m dy

m dy

m u

y

p

0

0

0

y

dτ

u

u

2

2

dt

1

c

2

1

c

2

аналогично

px

m u

, pz

m u

;

0

x

0

z

2

2

1

u

1

u

c

2

c

2

в векторной форме

,

121

p

m u

0

2

1

u

c

2

.

Запишем это определение в виде, аналогичном формуле классической механики:

p здесь m – релятивистская масса:

m

mu ,

m

0

2

1

u

c

2

.

1.13.2. Релятивистское уравнение динамики материальной точки

Если материальная точка изолирована, то её импульс

p mu const . Если на точ-

ку действуют другие объекты, то мера взаимодействия – сила F . Запишем уравнение динамики:

p F

t

или, подставляя выражение для релятивистского импульса,

d

m u

F

dt

0

u

2

1

c

2

– релятивистское уравнение динамики материальной точки.

Так как F f v,t и ни время, ни скорость не являются инвариантами преобразо-

ваний Лоренца, то и сила не является релятивистским инвариантом. Поэтому полученное уравнение динамики малополезно для решения задач.

1.13.3. Энергия в релятивистской механике

Пусть тело движется под воздействием других объектов, которое описывается

силой F , направленной параллельно перемещению

l

(РИС. 15.5). Тело разгоняет-

ся от начальной скорости u0 0

до скорости u .

x

O

t 0

t 0

x 0

x 0

u 0

u 0

Wк 0

Wк 0

Рис. 15.5

По теореме об изменении кинетической энергии работа силы F

A

Wк Wк .

Смотрите также файлы