Файл: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.03.2025

Просмотров: 3998

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

122

Найдём работу и, соответственно, кинетическую энергию тела. Элементарная работа на малом перемещении dl (dl = dx)

δA Fdl

Fdxcos0 Fdx

;

так как из релятивистского уравнения динамики

пульс p mu

δA

d mu

dx ud mu .

dt

Проинтегрируем это выражение:

F

dp dt

, релятивистский им-

u

ud mu u mu

u

c

2

u

m

2u du

к

2

0

A W

mudu mu

2

u

0

0

0

1

2

c

2

c

2

u

u

2

u

2

1

2

1

c

m c

2

2

c

2

mu

2

c

mu

2

m

m c

2

0

2

1 2

0

u

0

1

2

c

2

0

2

m c

2

2

m u

m u

m c2 mc2 m c2

,

0

0

0

2

2

2

0

0

1

u

1

u

1

u

c

2

c

2

c

2

W mc

2

m c

2

.

к

0

При u << c

1

2

2

W

m c

2

1 m c

2

1

u

1

m u

0

к

0

u

0

2c

2

2

1

2

2

c

– результат классической механики.

Полная энергия

2

W mc

.

Представим

2

W m c

2

W mc

к

0

При u = 0 W = W0 = m0c2;

W m c2

0

0

.

– энергия покоя.

Энергия покоя может переходить в другие виды энергии.

123

ПРИМЕРЫ

1) Реакция аннигиляции

При взаимодействии частицы и её античастицы они аннигилируют (взаимно уничтожаются) с образованием фотонов. Например, реакция электрона и позитрона

e

m0

e 2γ

m0

,

m0 = 0

γ – фотон рентгеновского излучения. Массы покоя электрона и позитрона одинаковы (m0), а масса покоя фотона равна нулю. Энергия покоя электрона и позитрона переходит в энергию фотона (энергию электромагнитного поля).

2) Дефект масс

Атомные ядра состоят из нуклонов – протонов и нейтронов (см. РАЗДЕЛ 7.1.1). Массы покоя протона и нейтрона в свободном состоянии соответственно равны mp и mn; масса ядра – mя.

Всегда масса ядра меньше суммы масс составляющих его нуклонов:

m Zm A Z

я

p

здесь Z – число протонов в ядре – заряд ядра, нейтронов в ядре. Разность

m Zm

A Z m

0

p

n

– дефект масс.

mn ,

A – массовое число, (A – Z) – число

mя 0

,

Рассмотрим реакцию синтеза атомного ядра (см. РАЗДЕЛ 7.3.5) – реакцию получе-

ния ядра из отдельных нуклонов. Изменение энергии системы нуклонов

к

0

W W

m c

2

В замкнутой системе W = 0. Поэтому

Wк c

2

m0

W c

2

к

m

W

к

0

c

2

m0

.

.

1.13.4. Вектор энергии-импульса

В 4-пространстве оперируют физическими величинами – 4-векторами.

4-вектор энергии-импульса

i

W

c

P

px

.

p

y

pz

Найдём модуль вектора энергии-импульса:

124

W

m c

2

0

2

1

u

c

2

p

m u

0

2

1

u

c

2

W

m c

2

0

1

c

2

p

2

W

2

,

p

u

,

u

cp

;

W

c

2

c

W

W

2

2

2

2

4

inv

c p

m c

0

– модуль вектора энергии-импульса является релятивистским инвариантом.

125

Лекция 16

1.14. Механические колебания39

1.14.1. Виды колебаний

Колебания – периодические изменения какой-либо физической величины во времени. Система тел, в которой происходят колебания, – колебательная си-

стема.

Колебания могут иметь разную физическою природу, но схожее математическое описание. Сейчас мы будем рассматривать механические колебания.

Колебания

свободные

вынужденные

колебательная система

при периодическом внешнем

предоставлена самой себе

воздействии

незатухающие

затухающие

W↓

1.14.2. Свободные незатухающие колебания (собственные колебания)

Рассмотрим свободные колебания пружинного маятника (трения нет) в горизонтальном направлении. Груз – материальная точка массы m – колеблется на пружине жёсткостью k (РИС. 16.1), после того как его вывели из положения равновесия (точка O) и предоставили систему самой себе.

k

m

O

x

Запишем II закон Ньютона для груза:

Рис. 16.1

ma Fт N Fупр .

Спроецируем это уравнение на ось x. Так как Fупр x = –kx,

max kx .

По определению, ax d2x2 . Получим дифференциальное уравнение dt

m

d2x

kx 0

d2x

dt2

dt2

Обозначим

k

ω02

;

m

k

x

m

0

.

39 Материал параграфов 1.14 и 1.15 входит в экзаменационную программу II семестра. Материал лекций 16 и 17 может быть, по обстоятельствам, прочитан во II семестре перед темой «ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ» или параллельно материалу этой темы.

126

d

2

x

2

2

ω x 0

(16.1)

dt

0

– дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний.

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение40

x t Acos ω0t φ

(16.2)

содержит две произвольные константы A и φ. Данные константы определяются из начальных условий.

Пусть при t = 0 x = x0, vx = 0 (груз оттянули на x0 и отпустили без начальной скорости). Первая производная функции (16.2) – проекция скорости груза на ось x

dx v

x

t Aω sin ω t φ .

(16.3)

dt

0

0

Подставим начальные условия в функции (16.2) и (16.3) и найдём константы A и

φ:

x 0 Acosφ,

x

0

Acosφ,

0 Aω sinφ

0

Aω sin

v

x

0

0

Частное решение дифференциального уравнения условиях

φ 0,

φ

A x

.

0

(16.1) при данных начальных

x t x0 cosω0t ;

проекции скорости и ускорения на ось x

vx t x0ω0 cosω0t , ax t x0ω02 cosω0t .

Графики функций x(t), vx(t), ax(t) представлены на РИС. 16.2. Решение (16.2) – гар-

моническая функция.

В общем решении (16.2):

A – амплитуда колебаний – максимальное отклонение колеблющейся величины от равновесного значения;

ω0 – циклическая частота;

выражение в скобках (аргумент косинуса) – фаза колебаний;

φ – начальная фаза.

Введём другие характеристики гармонических колебаний:

период T – время, за которое колебательная система совершает одно полное колебание;

частота ν – число полных колебаний в единичный промежуток времени;

T

ω0

2π

,

ν

ω0

1

;

ω0

2π

T

радс с 1 , ν Гц .

40 Студентам предлагается проверить самостоятельно, является ли формула (16.2) общим решением дифференциального уравнения (16.1).

Смотрите также файлы