142
Таблица 18.1 (продолжение)
q0 +
|
|
|
|
|
|
|
q0 + |
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F ~sinα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F q |
vB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
Общий случай: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F q |
,v q E q |
vB |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
– формула Лоренца, F |
– сила Лоренца ( F1 0 |
и |
F2 |
0). |
|
|
3.1.4. Силовые характеристики электромагнитного поля
Для того чтобы охарактеризовать электромагнитное поле как единый объект, нужно ввести два вектора – E и B .
Основные характеристики электромагнитного поля
Напряжённость электрического поля |
Индукция магнитного поля |
|
, |
143
Вспомогательные характеристики электромагнитного поля
Электрическое смещение |
Напряжённость магнитного поля |
(в вакууме)
(в вакууме)
– электрическая постоянная – магнитная постоянная
Электрическая и магнитная постоянные не имеют физического смысла, они – константы СИ. Физический смысл имеет величина
– скорость электромагнитных волн в вакууме.
Вспомогательные силовые характеристики нужны для описания электромагнитного поля в веществе (см. 3.3.3 и 3.11.2).
3.1.5. Принцип суперпозиции полей
Этот принцип следует из опыта.
Принцип суперпозиции полей:
напряжённость электрического
индукция магнитного поля
заряженных частиц
движущихся заряженных частиц
полей, создаваемых каждым из этих
зарядов
Для дискретного распределения
токов
E Ei ,
B Bi .
Для непрерывного распределения
зарядов
токов
E dE,
B dB.
144
3.1.6. Уравнения Максвелла
Уравнения Максвелла постулируются. Они – обобщение опытных фактов - законов электродинамики. Мы рассмотрим каждый из этих законов в дальнейшем.
Уравнения Максвелла в интегральной форме44
Edl |
B |
dS |
|
t |
|
|
|
S |
|
|
|
Hdl |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
j |
t |
dS |
|
S |
|
|
|
|
|
DdS ρdV |
|
|
V |
|
|
|
|
BdS 0 |
|
|
|
|
Здесь |
ρ |
dq |
– объёмная плотность заряда; |
|
|
dV |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
dI |
n |
|
dq |
n – плотность тока (см. РИС. 18.1). |
|
|
dS |
dtdS |
|
|
|
|
|
|
|
Имеются |
|
в виду свободные заряды – заряды, |
Рис. 18.1 |
|
нарушающие электронейтральность вещества, и |
|
макротоки – упорядоченное движение заряженных частиц на расстояния, много большие межмолекулярных расстояний.
Вуравнениях I, II L – произвольная замкнутая кривая, S – произвольная поверхность, ограниченная этой кривой.
Вуравнениях III, IV S – произвольная замкнутая поверхность, V – объём, ограниченный этой поверхностью.
3.1.7. Материальные уравнения
Материальные уравнения – уравнения, связывающие основные и вспомога-
тельные характеристики электромагнитного поля: E и D , B и H . Их вид зависит от природы вещества, в котором существует электромагнитное поле.
Вещество состоит из молекул, в которых заряженные частицы (связанные заряды) движутся друг относительно друга (микротоки) и создают собственное электромагнитное поле, которое накладывается на поле свободных зарядов и макротоков.
Для изотропных диэлектриков, несегнетоэлектриков45
D ε0εE ,
где ε – относительная диэлектрическая проницаемость вещества. В вакууме ε = 1.
Для изотропных магнетиков, неферромагнетиков
44Более подробно об уравнениях Максвелла – в ПАРАГРАФЕ 3.12. Элементы векторного анализа, использующиеся в уравнениях Максвелла, рассмотрим в течение семестра.
45Сведения о сегнетоэлектриках см., например, в книге [4].
145
где µ – относительная магнитная проницаемость вещества. В вакууме µ = 1.
3.2. Постоянное электрическое поле в вакууме
3.2.1. Электростатическое поле в вакууме
|
В этом случае |
B 0 |
, |
E |
0 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения Максвелла: |
|
|
|
I. |
Edl 0 |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
III. |
EdS |
ρdV QS |
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
ε |
S |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
146
Лекция 19
3.2.2. Закон Кулона. Расчёт напряжённости электрического поля методом суперпозиции
Закон Кулона: сила взаимодействия двух точечных зарядов
F12 |
|
q q |
r12 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4πε |
r |
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
12 |
(см. РИС. 19.1; на этом рисунке заряды q1 и q2 одного знака).
Напряжённость электрического поля точечного заряда
Силовые линии электрического поля точечного заряда представлены на РИС. 19.2.
Любую систему заряженных тел можно разбить на точечные заряды (или заряды другой формы, поле которых легко рассчитать) и затем просуммировать (проинтегрировать) напряжённости полей этих зарядов.
|
ПРИМЕРЫ |
|
|
|
|
|
1) Электрическое поле равномерно заряженного тонкого кольца |
|
z |
|
|
|
|
По тонкому кольцу равномерно распределён заряд Q > 0 |
|
|
|
(РИС. 19.3). Найти E z (z – ось кольца). |
|
|
|
Находим напряжённость электрического поля в точке A на |
|
|
|
оси кольца (OA = z). Разобьём кольцо на точечные заряды dq |
|
|
|
(на РИС. 19.3 показаны два малых заряда dq и dq′, равные по |
|
A |
|
модулю и расположенные диаметрально противоположно). |
|
θ |
|
По принципу суперпозиции полей |
|
|
|
dq′ |
|
E |
|
dE , |
Q |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dE – напряжённость электрического поля малого заряда dq. |
|
O |
|
Векторы напряжённости электрического поля каждого из |
|
dq |
|
этих зарядов одинаковы по модулю (если одинаковы по мо- |
|
|
дулю все заряды dq) и направлены так, что концы этих век- |
Рис. 19.3 |
|
торов образуют конус с вершиной в точке A (на |
РИС. 19.3 |
|
|
штриховой линией показано основание этого конуса). Проекции этих векторов на
