Файл: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр).pdf

угол θ показан на РИС. 19.3. Величины r и θ одинаковы для всех элементов dq:

В этом выражении все величины – постоянные, кроме dq. Проинтегрируем по q:

Предельные случаи

2) Электрическое поле равномерно заряженного тонкого прямого стержня

Тонкий стержень длиной AB = l имеет заряд Q > 0, равномерно распределённый по длине стержня. Найти напряжённость электрического поля в точке, находящейся на перпендикуляре к стержню, проходящем через его середину, на расстоянии b (точка C на РИС. 19.4).

Разобьём стержень на малые отрезки, имеющие малый заряд dq. Напряжённость поля точечного заряда

148

A

Суммарный вектор напряжённости электрического поля будет направлен перпендикулярно стержню, так как вследствие симметрии распределения заряда

угол α показан на РИС. 19.4. Это выражение нельзя интегрировать, так как в нём присутствуют три зависящих друг от друга переменные: q, r, α. Свяжем их друг с другом; для интегрирования будет удобнее всё выразить через α.

Расстояние от элемента dq до точки C

r cosb α .

Выразим заряд dq. Этот заряд занимает участок стержня длиной dl,

dq τdl ,

τ – линейная плотность заряда стержня. Так как стержень заряжен равномерно,

τ Ql .

Выразим длину элементарного отрезка dl через угол dα, под которым этот отрезок виден из точки C:

149

Подставим выражения для r и dl в выражение для dEx:

(стержень виден из точки C под углом 2α0). Из РИС. 19.4

Предельные случаи

3.2.3. Поток векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса для напряжённости электрического поля

Элементарный поток

ческого поля сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охваченной этой поверхностью, делённой на ε0:

46 Если поверхность S не замкнута, то выбор одного из двух направлений нормали произволен, при этом направление нормали для всех участков dS должно быть одинаковым.

150

Доказательство47 (вывод из закона Кулона)

Рассмотрим точечный заряд q и его электрическое поле. Окружим заряд произвольной замкнутой поверхностью S (РИС. 19.6А). По закону Кулона напряжённость электрического поля точечного заряда

S

Телесный угол, под которым из точки, где находится заряд q, видна площадка dS

(см. РИС. 19.6Б). Выразим элементарны й поток через телесный угол:

dΦ qdΩ .

4πε0

Проинтегрируем по полному телесному углу:

Мы доказали теорему для случая одного точечного заряда. Обобщение на случай произвольной системы зарядов проводится по принципу суперпозиции полей:

47 Мы строим курс, постулируя уравнения Максвелла. Это доказательство даётся для того, чтобы продемонстрировать связь уравнений Максвелла с эмпирическими законами электромагнетизма:

в данном случае – III уравнения Максвелла (теорема Остроградского-Гаусса для E ) и закона Кулона, и не входит в экзаменационную программу.