Файл: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.03.2025

Просмотров: 3952

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

132

Лекция 17

1.14.4. Вынужденные колебания

Пружинный маятник – механическая система, описанная в РАЗДЕЛЕ 1.14.2, при наличии сопротивления, находится под воздействием, описываемым периодической силой

F F0 cosΩt ,

Ω – циклическая частота вынуждающей силы. Сила

(РИС. 17.1).

F

направлена горизонтально

m k

O

x

Рис. 17.1

Запишем II закон Ньютона для груза:

ma Fт N Fупр Fсопр

F

.

В проекции на ось x

2

x

m

d

dt

2

kx r

dx

dt

F0 cosΩt

,

так как Fупр x = –kx,

Обозначим

k

2

m

ω0

Fсопр x = –rvx. Получим

2

x

r

dx

d

dt

2

m dt

,

r

2β и

m

F0 m

k m

x

f0

;

F

cosΩt

0

m

.

2

x

dx

d

2β

2

cosΩt

2

ω x f

0

(17.1)

dt

dt

0

– дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение – сумма общего решения однородного уравнения (16.7) и частного решения неоднородного уравнения (17.1) (ищем решение при слабом затухании – β < ω0)

x t x1

общее решение ОДУ

x1 t A1e

t x2 t ;

частное решение НДУ

βt cos ωt φ ;

133

x

2

t

A2 cos Ωt

φ

0

.

(17.2)

Здесь

ω

ω β

2

2

0

; A1 и φ – постоянные интегрирования; A2 и φ0 найдём подста-

новкой решения (17.2) в дифференциальное уравнение (17.1).

Общее решение x1(t) быстро затухает. В результате циклическая частота вынужденных колебаний будет равна циклической частоте Ω вынуждающей силы.

Производные функции x2(t)

dx2

A Ωsin Ωt φ

,

d2x

A Ω2 cos Ωt φ

.

dt

2

0

dt2

2

0

Подставим эти производные в исходное дифференциальное уравнение (17.1):

2

2βΩA sin Ωt φ

2

Ω A cos Ωt φ

ω A cos Ωt φ

2

0

2

0

0

2

0

f

0

cosΩt

.

(17.3)

Это равенство должно соблюдаться при любом t, в т. ч. тогда, когда cos (Ωt + φ0) = 0 либо sin (Ωt + φ0) = 0. Преобразуем правую часть уравнения (17.1):

f0 cosΩt f0 cos Ωt φ0

φ0 f0

cos Ωt φ0 cosφ0

sin Ωt φ0

sinφ0

.

Подставим это выражение в (17.3) и приравняем нулю сначала cos (Ωt + φ0), а за-

тем sin (Ωt + φ0):

2

2

f

cosφ

,

Ω

A ω A

2

0

2

0

0

2βΩA f

sinφ .

2

0

0

(17.4)

Разделив нижнее равенство на верхнее, получим

tgφ

2βΩ

2

2

0

ω

Ω

0

.

Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы на φ0.

Найдём амплитуду A2 вынужденных колебаний из первого уравнения системы

(17.4):

A

f

cosφ

f

1

f

1

f

,

0

0

0

0

0

2

2

2

2

2

2

2

1

0

ω Ω

ω Ω

2

ω

Ω

2

2

2

2

2

φ

2

2

0

0

1 tg

0

4β Ω

ω

Ω

4β Ω

0

0

ω

Ω

2

2

2

A

f

0

.

(17.5)

2

0

2

Ω

2

2

2

Ω

2

ω

4β

Исследуем зависимость A2(Ω). Значения функции на границах области определения

A

0

f0

,

A

0.

2

ω2

2

0

Функция (17.5) должна иметь максимум. Условие экстремума

1

2

2

ω2

Ω2 2 Ω 8β2Ω2

dA

0

0

2

0

2

f

0

,

dΩ

ω2

Ω2 2 4β2Ω2 3 2

0

134

2β

Ω Ω ω0

Ω

0

Ω 2β

ω0

Ω

0

;

2

2

2

2

2

2

при Ω = 0 функция A2(Ω) имеет минимум, а при

Ω

ω 2β

2

2

рез

0

(17.6)

– резонансной циклической частоте – максимум. Имеет место резонанс – резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении циклической частоты вынуждающей силы к резонансной циклической частоте.

Графики зависимостей A2(Ω) – резонансные кривые – при разных коэффициентах затухания изображены на РИС. 17.2.

A2

β = 0

β1

β2 < β1

0

Ωрез ω ω0

Ω

Рис. 17.2

Из формулы (17.6) и РИС. 17.2 видно, что Ωрез < ω < ω0. При β → 0 A2 → ∞ – амплитуда вынужденных колебаний в системе без затухания неограниченно возрастает.

1.15. Механические волны

1.15.1. Уравнение бегущей волны

Волна – любое распространяющееся в пространстве возмущение, т. е. изменение какой либо физической величины с течением времени.

ξ

t1

t2

 A

 B

0

x1

x2

x

Рис. 17.3

135

Пусть величина ξ зависит от времени и это возмущение распространяется со ско-

ростью v – скоростью волны; ξ = ξ(x, t). Из точки A в точку B волна придёт через время t2 – t1 (РИС. 17.3):

,t1

x

x

ξ x1

,t1

.

(17.7)

ξ x2 ,t2 ξ x1 ,t1 ξ x2

2

1

v

Положим x1 = 0. Тогда в уравнении (17.7) x2 → x, t2 → t, t1

t

x

:

v

ξ 0,t f t

, ξ x,t ξ

x

f

x

0,t

t

v

;

v

ξ x,t f

t

x

(17.8)

v

– уравнение бегущей волны; t

x

– фаза волны.

v

1.15.2. Волновой фронт

Волновой фронт (волновая поверхность) – геометрическое место точек, в ко-

торых в один и тот же момент времени колебания происходят в одинаковой фазе.

Часто встречающиеся примеры – плоский и сферический волновой фронт - показаны на РИС. 17.4.

Плоская волна

Сферическая волна

волновая поверхность – плоскость

волновая поверхность – сфера

Рис. 17.4

136

Волны

продольные

поперечные

колебания в направлении

колебания в направлении

распространения волны

перпендикулярном направлению

распространения волны

ПРИМЕРЫ

Звуковая волна

Электромагнитная волна

Волны на шнуре

Волны на поверхности жидкости

Демонстрации: 1) Волны на поверхности жидкости

2)Волны на поверхности жидкости

3)Волновая машина со связями

1.15.3.Гармоническая волна

Гармоническая (монохроматическая, синусоидальная) волна – процесс рас-

пространения гармонических колебаний в пространстве. Уравнение гармонических колебаний

f t Acos ωt φ0 .

Уравнение бегущей волны

ξ x,t f

t

x

Acos

ωt ωx φ

Acos

v

0

v

ξ x,t Acos

ω

t

x

φ

0

v

– уравнение плоской бегущей гармонической волны.

Характеристики гармонической волны

x

ω t

φ0

,

v

Скорость v Начальная фаза φ0

Циклическая частота ω

Период T

2π

ω

Частота ν 2ωπ T1

Амплитуда A – максимальное значение колеблющейся величины

(17.9)

Длина волны – расстояние, которое волна проходит за время одного полного колебания:

Смотрите также файлы