Файл: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.03.2025

Просмотров: 3966

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

157

Отношение

W

п

q

0

ля:

– потенциал;

Wп f q0 ,E .

не зависит от q0 и является энергетической характеристикой по-

φ

W

п

;

q

0

[φ] = В.

Эта величина определяется с точностью до произвольной постоянной. Физиче-

ский смысл имеет разность потенциалов

поля

*

φ

φ φ

A

A

1 2

1 2

12

2

1

q

q

0

0

– работа поля по перемещению пробного заряда из начального положения в конечное, отнесённая к модулю этого заряда и взятая с обратным знаком, или работа внешних сил при том же перемещении, отнесённая к модулю пробного заряда.

Связь напряжённости и потенциала электростатического поля

Работа электростатического поля при перемещению пробного заряда из точки 1 в точку 2

2

1

2

0

0

2

поля

F dl

q Edl q

Edl

A

1

1

1

разность потенциалов

;

поля

2

φ12

A

Edl ;

q0

1

интегрирование проводится по произвольной кривой, соединяющей точки 1 и 2.

Интегральная связь напряжённости и потенциала электростатического поля

2

2

φ

Edl

E

dl

,

12

l

1

1

1

1

1

l

Edl

φ

E

dl

φ 0

φ 0

– потенциал поля в точке 1. Элементарная работа поля

δAполя F1dl q0 Edl ;

элементарное приращение потенциала

dφ

δAполя

Edl ,

q

0

158

E

dφ

gradφ

dl

– дифференциальная связь напряжённости и потенциала электростатиче-

ского поля (определение вектора градиента φ

dφ

см. в РАЗДЕЛЕ 1.8.5).

dl

Эквипотенциальная поверхность – геометрическое место точек, потенциал которых одинаков.

Так как

E gradφ , вектор напряжённости электрического поля перпендикуля-

рен эквипотенциальным поверхностям.

ПРИМЕР

Потенциал поля точечного заряда

Напряжённость электрического поля точечного заряда q

E

q

r

.

4πε r

3

0

Эквипотенциальные поверхности – сферы (РИС. 20.3).

q

Положим начало отсчёта потенциала в бесконечно уда-

лённой точке: φ(∞) = 0. Интегрирование в формуле инте-

r

гральной связи напряжённости и потенциала проведём

по радиальной прямой:

r

Рис. 20.3

r

r

r

q

dr2

q

1

q

φ Edr Erdr

.

4πε

4πε

r

4πε r

r

0

0

0

Принцип суперпозиции (в применении к потенциалу): потенциал электростатического поля системы заряженных тел равен сумме потенциалов полей, создаваемых каждым из этих тел по отдельности:

φ

i

φ

,

φ dφ

.

Доказательство

Имеем систему N заряженных тел. По принципу суперпозиции напряжённость электрического поля

E Ei

.

Интегральная связь напряжённости и потенциала

A

A

Ei dl

A

Eidl φi , ч. т. д.

φ

Edl

φ 0

φ 0

φ 0

Любую систему заряженных тел можно разбить на точечные заряды и найти потенциал по методу суперпозиций. Таким образом проще рассчитать потенциал, чем напряжённость, так как потенциал – скалярная величина, а напряжённость – векторная.

159

ПРИМЕР

1) Поле равномерно заряженного тонкого кольца

По тонкому кольцу равномерно распределён заряд Q > 0 (РИС. 20.4). Найти зависимость потенциала от координаты в точке на оси z кольца: φ(z).

Положим потенциал равным нулю в бесконечно удалённой точке. Разобьём кольцо на малые участки с зарядами dq и воспользуемся методом суперпозиций:

φ

dφ

,

dφ

dq

4πε r

0

.

Расстояние r до точки A, где измеряется потенциал одина-

z

ково для всех элементов dq;

r

R

2

z

2

.

Проинтегрируем выражение для потенциала по q:

Q

dq

Q

φ

.

z

z

0

4πε

R

2

2

4πε

R

2

2

0

0

A

r z

Q

Найдём напряжённость электрического поля как функцию z

R

через дифференциальную связь напряжённости и потенци-

O

ала:

E gradφ

dφ

k

dz

dq

Рис. 20.4

( k – орт оси z), так как в точках на оси z напряжённость

электрического поля направлена вдоль этой оси и может зависеть только от z;

Q

1

2z

E

dφ

2

Qz

.

z

0

0

dz

4πε

R

2

z

2

4πε

R

2

z

2

Этот же результат мы получили РАНЕЕ методом суперпозиции E .

2) Поле равномерно заряженной бесконечно длинной тонкой прямой нити

Бесконечно длинная прямая нить равномерно заряжена с

τ

линейной плотностью τ (РИС. 20.5). Найти зависимость по-

тенциала электрического поля от расстояния r от нити: φ(r).

Воспользуемся результатом решения ЗАДАЧИ о напряжённо-

сти электрического поля этой системы

Er

τ

r

2πε r

0

и интегральной связью напряжённости и потенциала. Начало отсчёта потенциала возьмём в точке O на расстоянии r0 от нити50;

A

r0 O

Рис. 20.5

50 В случае, если заряды располагаются в бесконечно удалённых точках, нельзя взять начало отсчёта потенциала в бесконечности.

160

r

r

τ

dr

τ

r

φ Erdr

ln

2πε

r

2πε

r

r

r

0

0

0

0

0

График зависимости φ(r) показан на РИС. 20.6.

φ

.

0

r0

r

Рис. 20.6

3) Поле равномерно заряженной сферы

Q

Сфера радиуса R равномерно

заряжена зарядом Q

(РИС. 20.7). Найти зависимость потенциала электрическо-

II

R

го поля от расстояния r от центра сферы: φ(r).

O

Воспользуемся интегральной связью напряжённости и

потенциала, полагая φ(0) = 0:

I

r

r

A

φ Erdr .

(20.1)

0

Разбиваем пространство на две области (см. ПРИМЕР 1 РАЗ-

ДЕЛА 3.2.3).

Рис. 20.7

II. r < R

Напряжённость электрического поля в этой области EIIr = 0. Потенциал

r

φ EIIrdr 0 .

0

I. r > R

Согласно ранее полученному результату, в этой области проекция напряжённости электрического поля на радиальное направление

EIr

Q

.

4πε r2

0

При вычислении потенциала мы идём от центра сферы к точке A (РИС. 20.7), где измеряется потенциал, по радиальной прямой. На разных участках этого пути (отрезка OA) аналитическое выражение Er(r) различно, поэтому интеграл (20.1) приходится разбивать на две части:

R

r

R

r

Q dr

Q 1 r

Q

1

1

φ EIIrdr EIrdr 0dr

2

.

4πε0 r

4πε0 r

R

0

R

0

R

R

4πε0 r

Смотрите также файлы