166
P ε0æE
Связь поляризованности с поверхностными поляризационными (связанными) зарядами
Рассмотрим диэлектрик – образец цилиндрической формы, помещённый в однородное электрическое поле. Молекулы либо разворачиваются, либо «растягиваются» вдоль поля. При этом внутри диэлектрик по-прежнему электронейтрален. На торцах образца появляются нескомпенсированные заряды. Такой образец эквивалентен большому диполю.
а) Торцы образца перпендикулярны E0 (РИС. 21.1)
– |
+ |
– |
+ |
– |
+ |
|
– |
+ |
– |
+ |
– |
+ |
S |
–σ′ – |
+ |
– |
+ |
– |
+ |
σ′ |
H
Рис. 21.1
где V = SH – объём образца.
На рисунке H – ширина образца, S – площадь торцевых поверхностей, σ′ – поверхностная плотность связанных зарядов52. Заряды торцевых поверхностей
модуль дипольного момента образца
pe QH σ SH
(Q = Q+);
модуль поляризованности
б) Торцы образца не перпендикулярны
S |
– |
|
+ |
|
– |
|
+ |
|
|
– |
+ |
· |
α |
–σ′ – |
|
+ |
σ′ |
|
H
Рис. 21.2
E0 |
(РИС. 21.2) |
|
|
|
|
Пусть напряжённость электрического |
|
|
поля направлена под углом α к нормали |
|
|
к торцам образца. Дипольный момент |
|
|
образца выражается той же формулой, |
|
|
что и в предыдущем случае: |
|
|
|
|
pe |
|
|
|
|
|
QH σ SH . |
|
|
Объём образца – косоугольного цилин- |
|
|
дра |
|
|
|
|
|
|
V SHcosα . |
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
P |
σ |
σ Pcosα Pn , |
|
|
|
cosα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ Pn |
|
|
(21.3) |
|
|
|
|
|
|
52 Здесь и далее в этом разделе штрихом обозначаются связанные заряды, без штриха – свободные заряды. В «живой» лекции может быть целесообразно вместо этого писать верхние или нижние индексы, например, σсвяз и ρсвоб.
167
– нормальная проекция поляризованности у поверхности диэлектрика равна поверхностной плотности связанных зарядов.
Демонстрации: 1) Модели диэлектрика
2)Диэлектрик в электрическом поле
3.Теорема Остроградского-Гаусса для электрического поля в диэлектрике
а) Теорема Остроградского-Гаусса для вектора поляризации
Проведём внутри нейтрального диэлектрика, находящегося в электрическом поле, замкнутую поверхность S (РИС. 21.3). Эта поверхность «разрежет» диполи молекул.
Разобьём диэлектрик на малые объёмы Vi, а поверхность S – на малые площадки Si и найдём связанный заряд, охвачен-
ный поверхностью S: |
|
0 |
|
|
|
q |
|
|
ρi Vi |
|
Si |
|
, |
|
|
σi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
S |
|
|
S |
|
здесь ρ |
|
– |
|
объёмная плотность связан- |
|
|
ных зарядов. Первое слагаемое в правой части этого равенства равно нулю, так как диэлектрик в целом электронейтрален. Поверхностная плотность связанных зарядов во втором слагаемом отличается от σ′ в выражении (21.3) тем, что это плотность зарядов не на внешней границе диэлектрика, а на воображаемой внутренней границе. При напряжённости электрического поля, направленной так, как показано на рисунках 21.2 и 21.3, связанные заряды на внешней границе справа – положительные, а на внутренней – отрицательные. Поэтому направление вектора поляризации фрагмента образца, попа-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
дающего внутрь поверхности S, будет противоположным и Pn σi |
q |
|
Pni |
Si |
|
Pi |
Si . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
S |
|
В пределе при Si → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(21.4) |
|
|
|
|
PdS |
|
q |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– теорема Остроградского-Гаусса для |
P |
: поток поляризованности сквозь про- |
|
|
извольную замкнутую поверхность равен сумме связанных зарядов, охваченной этой поверхностью, взятой с обратным знаком.
б) Теорема Остроградского-Гаусса для E и D
Напряжённость электрического поля в веществе – это напряжённость усреднённого поля, созданного как свободными (напряжённость поля E0 ), так и связанными
( E ) зарядами. Напряжённость поля связанных зарядов направлена против поля свободных зарядов, поэтому E < E0.
Теорема Остроградского-Гаусса для напряжённости электрического поля
Сумма связанных зарядов сумму из (21.4):
|
EdS |
|
q |
S |
q |
S |
. |
|
|
(21.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
не поддаётся прямому расчёту. |
Выразим эту |
q |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PdS |
|
ε0 EdS q |
S |
PdS , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
ε E P |
|
dS |
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– теорема Остроградского-Гаусса для напряжённости электрического поля в веществе.
Введём вспомогательную величину
D ε0 E P
– электрическое смещение (электрическая индукция);
DdS q S
S
– теорема Остроградского-Гаусса для электрического смещения: поток век-
тора электрического смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью.
D – это вспомогательная векторная характеристика электрического поля, помо-
гающая расчёту E .
в) Связь E и D
Формула (21.6) – определение.
Для изотропного диэлектрика53 (несегнетоэлектрика)
D ε0 E ε0æE ε0 1 æ E .
Обозначим
ε 1 æ
– относительная диэлектрическая проницаемость вещества. Связь пишется как
D ε0εE
У всех диэлектриков ε > 1; у полярных диэлектриков эта характеристика больше, у неполярных – меньше.
53 Для изотропных диэлектриков смысл относительной диэлектрической проницаемости – величина, показывающая во сколько раз диэлектрик ослабляет электрическое поле свободных зарядов (см. ПРИМЕР). Задачи на расчёт характеристик электрического поля в изотропном диэлектрике
можно решать и без использования D (вводя ε в формулировку теоремы Остроградского-Гаусса для E ), но мы настаиваем на том, чтобы студенты использовали эту величину и теорему Остро- градского-Гаусса для D .
|
|
169 |
Для анизотропных диэлектриков |
D |
и E не параллельны. Диэлектрические свой- |
ства вещества определяются тензором диэлектрической проницаемости
и
|
ε |
xx |
ε |
xy |
ε |
E |
|
|
|
|
|
xz |
x |
D ε0 |
εyx |
εyy |
εyz E y . |
|
εzx |
εzy |
|
|
|
|
εzz Ez |
ПРИМЕР
Поле точечного заряда в однородном диэлектрике
Точечный заряд Q > 0 находится в безграничном диэлектрике с относительной диэлектрической проницаемостью ε (РИС. 21.4). Найдём ряд векторных характеристик электрического поля, создаваемого этим зарядом.
Так как в пространстве имеется диэлектрик, воспользуемся теоремой Остроград-
ского-Гаусса для D
Выберем поверхность интегрирования S в виде сферы радиуса r – расстояние от заряда Q до точки A, в которой исследуется поле, с центром в точке, где расположен
заряд Q; нормаль dS направлена радиально, как и D . Поток D
DdS Dr 4πr2 ,
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
охваченный заряд q |
S |
Q . Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D 4πr2 |
Q , |
D |
|
Q |
. |
|
|
|
|
|
4πr2 |
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
Связь между D и E : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D ε εE D ε εE |
|
, E |
|
|
D |
|
Q |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
r |
0 |
r |
|
r |
|
|
ε ε |
|
4πε εr |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
Поляризованность, исходя из определения D |
(21.5), |
|
|
P D ε E |
|
|
Q |
|
|
ε Q |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
0 |
r |
|
4πr |
2 |
|
4πε εr |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Найдём также напряжённость электрического поля свободных и связанных зарядов. Проекция напряжённости электрического поля свободных зарядов на радиальное направление (см. 3.2.2)
