Файл: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.03.2025

Просмотров: 3947

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

184

при r < R (область II) EIIr = 0.

В области I объёмная плотность энергии электрического поля

w

r

ε εE

0

I

2

2

ε εQ

2

Ir

0

2

ε

2

2

4

2 16π

ε r

0

Q

2

2

ε εr

4

32π

0

.

Разобьём пространство вне заряженной сферы на бесконечно тонкие сферические слои, концентричные заряженной сфере. Энергия электрического поля в слое радиуса r и толщины dr

Q

2

2

dW w (r)dV

2

Q dr

2

4

4πr dr

2

I

ε εr

8πε εr

32π

0

2

0

Энергия поля в сферическом слое радиусами r1 и r2

r

2

2

r

2

2

Q

1

2

Q

1

1

W

Q dr

8πε εr

2

8πε ε r

8πε ε

r

r

r

r

0

0

0

1

2

1

1

Энергия поля во всём пространстве

2

Q

2

0

Q dr

2

W

8πε εr

8πε εR

R

0

0

(внутри заряженной сферы поля нет).

.

.

Заметим, что энергия поля всегда положительна вне зависимости от знака заряда.

3.6. Электрический ток

3.6.1. Электрический ток. Сторонние силы

В непостоянном электрическом поле напряжённость поля внутри проводника

E 0

и имеет место электрический ток.

Направление тока – направление упорядоченного движения положительно заряженных частиц.

Сила тока56 – скалярная алгебраическая величина – характеристика тока, равная заряду, проходящему через поперечное сечение проводника в единичный промежуток времени:

I

dq

dt

ампер – одна из основных единиц СИ.

; [I] = А,

Знак силы тока определяется тем, совпадает ли направление движения положительных зарядов с выбранным положительным направлением обхода проводящего контура (см. НИЖЕ).

Плотность тока – векторная характеристика тока, по модулю равная заряду, проходящему в единичный промежуток времени через единичный участок поперечного сечения проводника, а по направлению совпадающая с направлением движения положительных зарядов (РИС. 18.1)57:

56Эту величину в электротехнике называют током.

57РИСУНОК 18.1 следует нарисовать заново.

185

j

dI dS

n

.

Почему возникает электрический ток? На некотором участке проводника происходит разделение зарядов. Такое разделение не может произойти под действием кулоновского (электростатического) поля; под действием кулоновского поля разделение зарядов, наоборот, исчезает. Разделение зарядов происходит под действием электромагнитных (неэлектростатических) полей; эти поля называют

сторонними силами58.

I уравнение Максвелла:

Edl

B

dS

t

L

S

при

Edl 0

L

Edl

A

,

q

L

0

;

здесь A – работа электрического поля по перемещению пробного заряда q0 по замкнутому контуру L. Представим напряжённость электрического поля в проводнике как

E E

кул

E

стор

(23.3)

– сумму напряжённостей кулоновского и неэлектростатического полей;

Edl

L

E

кул

E

стор

dl

L

E

кул

dl

L

E

стор

dl

B

dS

t

L

S

.

0

1 +

– 2

Теперь рассмотрим незамкнутый контур 1-2, лежащий в

проводнике (РИС. 23.7). Интеграл по этому контуру

Рис. 23.7

Edl Eкул E

стор dl Eкулdl Eсторdl

2

2

2

2

1

1

1

1

2

сторdl;

φ1

φ2 E

1

2

стор

12

E

dl

E

1

– электродвижущая сила (ЭДС) – энергетическая характеристика электромагнитного поля (поля сторонних сил), равная работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда из начала в конец проводника.

58 Здесь и далее мы сталкиваемся с исторически сложившейся, но не очень удачной терминологией: сторонние силы – это не силы, а поля, т. е. физические объекты; ЭДС – это не силовая, а энергетическая характеристика поля.

186

3.6.2. Закон Ома

Большинство проводников подчиняется закону Ома. Экспериментальный59 закон

Ома в дифференциальной форме:

j σE

,

(23.4)

где σ – удельная электропроводность вещества. Закон Ома справедлив для веществ, в которых концентрация носителей заряда остаётся неизменной.

Удельное электрическое сопротивление вещества

σ

ρ

1

;

σ

См

, [ρ] = Ом·м.

м

Подставим напряжённость электрического поля в виде (23.3) в закон Ома в форме (23.4), затем умножим скалярно на элемент тока dl :

j σ Eкул Eстор ,

jdl σEкулdl σE

сторdl Eкулdl

Eсторdl .

ρ

ρ

Умножим это выражение на ρ и проинтегрируем по контуру 1-2 (РИС. 23.7):

2

2

кул

2

стор

ρ jdl

E

dl

E

dl

1

2

φ

φ

1

1

1

По определению плотности тока

jdl

dI

ndl

dI

dl

I

dl

dS

dS

S

,

E12

.

(23.5)

где S – площадь сечения проводника в направлении, перпендикулярном плотности тока. Подставим это выражение в (23.5) и проинтегрируем по участку 1-2:

2

ρdl

I

φ

φ E

S

1

2

12 .

1

Интеграл в левой части этого равенства – электрическое сопротивление участка цепи 1-2 – характеристика проводника, зависящая от формы, размеров и материала:

2

R12

ρdl

.

(23.6)

1

S

С учётом определения (23.6) перепишем (23.5) в виде

IR

φ φ E

(23.7)

12

1

2

12

– обобщённый закон Ома для участка цепи. Здесь:

φ1 – φ2 – разность потенциалов на участке 1-2;

E12 – ЭДС на участке 1-2;

59 Этот закон для металлических проводников будет выведен в ПАРАГРАФЕ 6.5.

кул

IR

U

A

12

12

12

q

0

Демонстрации:

187

стор

A

– падение напряжения на участке 1-2.

12

q

0

1) Падение потенциала вдоль верёвки

2) Усы Курёпина

3.6.3. Соединения проводников

В этом разделе рассматриваются однородные участки цепи, т. е. такие, в которых неэлектростатические поля не совершают работы (E = 0). Закон Ома для одно-

родного участка цепи

IR

U

12

12

.

1. Последовательное соединение (РИС. 23.8)

I

R1

R2

Ri

RN

Для N проводников, тельно

I

I

1

2

соединённых последова-

Ii

IN I ,

Рис. 23.8

так как по закону сохранения заряда заряд,

проходящий через любое сечение каждого из

проводников в определённый промежуток времени, одинаков.

Для однородного участка IiRi = Ui = φ1i – φ2i; общее падение напряжения

U U U

2

U

1

i

UN

i

U

.

Сопротивление участка цепи, состоящего из N проводников, соединённых последовательно,

R

U

Ui

I

I

R

2. Параллельное соединение (РИС. 23.9)

N Ri

i 1

Ui Ii

.

i

R

;

I1 R1

I I2 R2

Ii Ri

IN RN

Рис. 23.9

В этом случае напряжение на всех проводниках одинаково, а токи суммируются:

U1 U2

Ui

UN U ,

I I1 I2

Ii

IN Ii .

Сопротивление участка цепи, состоящего из N проводников, соединённых параллельно,

R

U

U

1

1

,

I

Ii

Ii

1

U

R

i

i

1

N

1

.

R

i 1

R

i

188

3.6.4. Правила Кирхгофа

Приведённые ниже два правила являются выражениями физических законов – закона сохранения электрического заряда и закона Ома – и позволяют рассчитать токи и напряжения на любом участке сколь угодно сложной электрической цепи.

1.Алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю:

.

i

0

I

узел

Узел электрической цепи – место (точка на электриче-

I1

ской схеме), где соединяются два и более проводников

(РИС. 23.10). При записи I правила Кирхгофа втекающие

в узел токи считаются положительными,

вытекающие

I2

Ii

IN

– отрицательными.

I правило Кирхгофа следует из закона сохранения

электрического заряда.

Рис. 23.10

2. Сумма падений напряжений на замкнутом участке

цепи равна сумме ЭДС на этом участке:

i i

i

I R

E

.

Доказательство

Применим обобщённый закон Ома (23.7) к каждому из N проводников на замкнутом участке цепи:

IiRi φ1i φ2i Ei .

Просуммируем эти выражения по всему замкнутому участку:

IiRi φ1i φ2i E i , ч. т. д.

0, т. к. контур замкнут Для расчёта токов в цепи произвольно выбирают направления токов в каждом

неразветвлённом участке и направления обхода замкнутых контуров. Составляют систему линейных алгебраических уравнений:

N – 1 уравнений по I правилу Кирхгофа (N – число узлов);

k уравнений по II правилу Кирхгофа (k – число независимых замкнутых контуров, т. е. таких контуров, которые нельзя целиком составить из других рассматриваемых контуров).

Эта система уравнений должна иметь одно и только одно решение.

ПРИМЕР

Расчёт токов в разветвлённой цепи

I1

R1

E1

Электрическая цепь состоит из трёх источников постоянного

тока и трёх однородных проводников (схема цепи на

I2

R2

I

РИС. 23.11). Параметры E1, E2, E3, R1, R2, R3 известны. Найти токи

1

E2

2

в каждой из ветвей цепи.

Число узлов в цепи N = 2, число независимых контуров k = 2.

I3

R3

II

E3

Произвольно обозначим направления токов в ветвях цепи, вы-

берем направления обхода контуров I и II (см. РИС. 23.11). Мож-

Рис. 23.11

но было бы выбрать другие два из трёх замкнутых контуров в

этой цепи.

Смотрите также файлы