ПРИМЕРЫ В РАЗ-
175
так как заряд распределён только по поверхности проводника;
3.4. Электрическая ёмкость
3.4.1. Ёмкость уединённого проводника
Уединённый проводник – проводник, удалённый от других тел, так что влиянием их электрических полей можно пренебречь.
Рассмотрим, как изменяются напряжённость электрического поля и потенциал уединённого проводника при изменении его заряда. При увеличении заряда в n раз напряжённость поля и потенциал увеличатся также в n раз (см.
ДЕЛЕ 3.2.4).
Электрическая ёмкость уединённого проводника – характеристика проводни-
ка, равная отношению заряда проводника к его потенциалу:
Ёмкость не зависит от заряда, потенциала и прочих характеристик электрического поля, она зависит от формы и размеров проводника и диэлектрических свойств среды, его окружающей.
ПРИМЕР
Ёмкость шара
Уединённый проводник – металлический шар радиуса R находится в вакууме (РИС. 22.5). Найти ёмкость проводника.
SМысленно зарядим проводник зарядом Q и рассчитаем потенциал проводника (потенциал отсчитывается от бесконечно удалённой точки).
Сначала найдём напряжённость электрического поля из теоремы Остроградского-Гаусса для E :
Поверхность интегрирования S – сфера радиуса r, где r
– расстояние от центра шара до точки, где измеряется поле, концентричная заряженному шару. Поток E
(см. ПРИМЕР 1) В РАЗДЕЛЕ 3.2.3), охваченный заряд равен заряду шара Q;
Потенциал шара найдём из интегральной связи напряжённости и потенциала электростатического поля:
|
R |
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
φ Erdr |
Q |
dr2 |
Q 1 |
|
Q |
. |
|
|
|
|
|
|
4πε |
4πε r |
4πε R |
|
|
|
r |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
3.4.2. Взаимная ёмкость двух проводников |
|
|
|
Рассмотрим систему, состоящую из двух проводников, заря- |
|
–q |
|
ды которых равны по модулю и противоположны по знаку q |
|
|
|
(РИС. 22.6). Разность потенциалов между проводниками про- |
|
|
|
порциональна модулю их заряда: φ+ – φ– ~ q. Отношение |
φ+ |
φ– |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 22.6 |
|
|
φ |
φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– взаимная ёмкость проводников. Эта величина зависит от размеров, формы, взаимного расположения проводников и диэлектрических свойств среды и не зависит от заряда, потенциала и прочих характеристик электрического поля.
3.4.3. Конденсаторы
Конденсатор – система двух проводников, расположенных настолько близко друг к другу, что, если этим проводникам сообщить одинаковые по модулю, но разные по знаку заряды, электрическое поле будет в основном сосредоточено между этими проводниками – обкладками конденсатора. Модуль заряда каждой из обкладок – заряд конденсатора.
Ёмкость конденсатора – характеристика конденсатора, равная отношению заряда конденсатора к модулю разности потенциалов между его обкладками (напряжению на обкладках):
Ёмкость конденсатора зависит от формы и размеров обкладок, их взаимного расположения, диэлектрических свойств среды между обкладками и не зависит от заряда, напряжения и т. п.
Для расчёта ёмкости любого конденсатора нужно мысленно придать ему заряд, найти напряжение между обкладками, а затем ёмкость по определению (22.5).
В ТАБЛИЦЕ 22.1 представлены конденсаторы простейшей формы и стандартные формулы55 для вычисления их ёмкости. Примеры вывода подобных формул даны
НИЖЕ.
55 Эти формулы относятся к конденсаторам, пространство между обкладками которых заполнено однородным диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью ε. В других случаях формулы для вычисления ёмкости нужно выводить заново, пользуясь определением ёмкости.
Плоский
ε
S
d
d << размеров пластин
ПРИМЕРЫ
177
Конденсаторы
Цилиндрический
R2
εR1
l
Таблица 22.1
Сферический
ε O R1
R2
1) Расчёт ёмкости плоского конденсатора, заполненного однородным диэлектриком
Имеется плоский конденсатор, площадь обкладок которого равна S, расстояние между обкладками – d, пространство между обкладками заполнено диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью ε (РИС. 22.7). Найти ёмкость конденсатора.
Q |
ε |
–Q |
|
|
Зарядим обкладки конденсатора заря- |
|
|
дом Q. Найдём электрическое смещение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в пространстве внутри конденсатора с |
|
|
|
|
|
помощью |
|
теоремы |
Остроградского- |
|
|
|
|
|
Гаусса |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
DdS q |
S |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
здесь q |
S |
– сумма свободных зарядов, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
охваченных |
поверхностью S. |
Поверх- |
|
|
|
|
ность интегрирования S выберем в виде |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
x |
цилиндра, основания |
которого |
парал- |
0 |
|
|
лельны обкладкам конденсатора, один |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 22.7 |
из торцов располагается вне конденса- |
|
тора (за положительно заряженной об- |
|
|
кладкой), а другой – внутри конденсатора. Вне конденсатора поле отсутствует (это легко показать с помощью принципа суперпозиции полей, воспользовавшись
результатом РАСЧЁТА ПОЛЯ РАВНОМЕРНО ЗАРЯЖЕННОЙ ПЛОСКОСТИ), внутри конденса-
тора оно однородно;
σ – поверхностная плотность заряда положительно заряженной обкладки,
Заметим, что легко найти поток D |
мы можем благодаря тому, что пластины счи- |
таются большими, т. е. практически бесконечными – мы пренебрегаем краевыми эффектами. Получим
Далее, найдём напряжённость электрического поля через связь
Затем найдём разность потенциалов между обкладками конденсатора, воспользовавшись интегральной связью напряжённости и потенциала электростатического поля:
|
|
|
φ 0 φ d |
0 |
|
|
0 |
Q |
|
Qd |
|
|
|
|
x |
dx |
|
dx |
|
|
|
|
U φ |
φ |
|
E |
|
ε εS |
ε εS |
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
Наконец, по определению ёмкости (22.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
Q |
|
ε εS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
d |
|
|
|
|
|
– формула, приведённая в ТАБЛ. 22.1. Демонстрация: Плоский раздвижной конденсатор
2) Расчёт ёмкости воздушного коаксиального кабеля (цилиндрического конденсатора)
Имеется воздушный коаксиальный кабель (в пространстве между обкладками ε = 1), радиусы обкладок равны R1 и R2 (РИС. 22.8). Найти ёмкость кабеля, приходящуюся на отрезок единичной длины.
Ход решения будет аналогичен ПРЕДЫДУЩЕМУ ПРИМЕРУ. Зарядим обкладки линей- τ –τ ными плотностями τ (внутреннюю обкладку) и –τ (внешнюю обкладку). Так как между обкладками нет диэлектрика, мож-
h |
r |
но обойтись без D . Теорема Остроградско- |
|
го-Гаусса для E |
|
|
|
A |
q S . |
|
|
|
|
|
|
EdS |
|
|
|
|
|
S |
S |
ε0 |
|
|
Поверхность интегрирования S выберем в |
|
|
|
|
|
|
виде цилиндра, коаксиального (соосного) |
|
|
Рис. 22.8 |
кабелю, произвольной высоты h, много |
|
|
|
меньшей длины кабеля, радиуса r, где r – |
расстояние от оси кабеля до точки, в которой измеряется поле. Внутри внутреннего провода (при r < R1) и вне кабеля (при r > R2) поля нет.
заряд, охваченный поверхностью S, q |
S |
τh |
(см. ЗАДАЧУ О ПОЛЕ ТОНКОЙ ДЛИННОЙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
НИТИ). Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
2πrh τh |
E |
|
|
τ |
. |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
ε |
|
|
|
|
2πε r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Напряжение на обкладках конденсатора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
τ dr |
|
τ |
ln R2 . |
U φ φ φ R1 φ R2 1 |
Erdr 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πε r |
2πε |
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Ёмкость, приходящаяся на отрезок кабеля единичной длины,
3) Расчёт ёмкости сферического конденсатора с двухслойным диэлектриком
Имеется сферический конденсатор, радиус внутренней обкладки которого равен R1, радиус внешней обкладки – R2, заполненный двумя слоями диэлектрика: диэлектрик с относительной диэлектрической проницаемостью ε1 (область I на РИС. 22.9) примыкает вплотную к внутренней обкладке, диэлектрик с относительной диэлектрической проницаемостью ε2 (область II) – к внешней обкладке, радиус границы разделал диэлектриков равен R0. Найти ёмкость конденсатора.
|
|
|
|
|
|
Зарядим конденсатор: пусть внутренняя обкладка |
|
|
|
|
|
|
имеет заряд Q, а внешняя обкладка – заряд –Q. Элек- |
ε2 ε1 |
|
|
|
–Q |
трическое поле существует только |
в пространстве |
|
|
|
между обкладками (R1 < r < R2). Применим теорему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
R1 |
|
|
Остроградского-Гаусса для D |
|
|
I |
Q |
O |
|
|
DdS q . |
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
R0 |
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II |
|
|
|
|
|
Выберем поверхность интегрирования S в виде сферы, |
|
|
|
|
|
|
концентричной конденсатору. Поток |
D |
охваченный поверхностью S свободный заряд равен Q,
Связь между напряжённостью электрического поля и электрическим смещением
|
D ε εE E |
|
|
Dr |
|
c , E |
|
|
Dr |
|
|
Q |
|
. |
|
Ir |
ε ε |
IIr |
ε ε |
4πε ε r2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
0 |
2 |
|
0 |
2 |
|
Напряжение на обкладках конденсатора