Файл: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.03.2025

Просмотров: 3915

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

180

R

R

R

R

Q

dr

R

Q

dr

φ R

φ R

1

0

1

0

1

U φ

φ

E

dr

E

IIr

dr

E

Ir

dr

2

2

1

2

r

4πε ε

r

4πε ε

r

R

R

R

R

R

0

2

0

1

2

2

0

2

0

R

R

Q

1

0

1

1

Q

1

1

1

1

4πε

ε r

ε r

4πε

ε R

ε R

ε R

ε R

2

0

0

2

1

0

2

0

2

2

1

1

1

0

R

R

Q

ε R R ε R R ε R R ε R R

.

1

1

2

1

0

1

2

0

2

2

1

2

4πε

ε ε R R R

0

1

2

0

1

2

Ёмкость конденсатора

Q

4πε0ε1ε2R0R1R2

C U

.

ε R R ε R R ε R R ε R R

1

1

2

1

0

1

2

0

2

2

1

2

При ε1 = ε2 = ε этот результат переходит в формулу, приведённую в ТАБЛ. 22.1.

181

Лекция 23

3.4.4. Соединения конденсаторов

1. Последовательное соединение

Последовательное соединение конденсаторов – соединение, при котором конденсаторы соединяются разноимённо заряженными обкладками.

На РИС. 23.1 изображена схема батареи из N конденса-

C1

C2

Ci

CN

торов, соединённых последовательно. Заряд каждого

конденсатора равен заряду всей батареи, так как все

Рис. 23.1

обкладки кроме крайних (левая обкладка конденсато-

ра С1 и правая обкладка CN на схеме РИС. 23.1) изолированы и сумма их зарядов равна нулю:

Q Q

Q

1

2

i

Напряжение на i-м конденсаторе

U

Q

i

i

C

i

.

QN

Q

.

Напряжение на батарее есть сумма напряжений на каждом из конденсаторов:

U

i

Q

i

U

C

i

Ёмкость батареи

C

Q

1

U

1

C

i

2. Параллельное соединение

Q

1

.

C

i

1

1

C

C

i

.

C1

C2

Ci

CN

Рис. 23.2

Параллельное соединение конденсаторов –соединение, при котором конденсаторы соединяются одноимённо заряженными обкладками.

На РИС. 23.2 изображена схема батареи N конденсаторов, соединённых параллельно. Напряжение на каждом из конденсаторов одинаково и равно напряжению на всей батарее:

U1 U2

Ui

UN U .

Заряд батареи равен сумме зарядов каждого из конденсаторов:

Q Qi CiUi U Ci .

Ёмкость батареи

Q

C

Ci ,

C

C

i

.

U

Нужно соблюдать правила построения электрических схем!

182

3.5. Энергия электростатического поля

3.5.1. Энергия заряженного конденсатора

Пусть конденсатор ёмкостью C имеет заряд q. Перенесём положительный малый заряд dq с отрицательно заряженной обкладки на положительно заряженную (РИС. 23.3). При этом внешними силами совершается работа

*

dq φ φ Udq

q

dq .

δA

C

Работа внешних сил по зарядке конденсатора от 0 до Q

Q

qdq

Q

2

*

A

C

2C

.

0

Так как работа – мера изменения энергии, W = A*,

W

Q

2

CU

2

QU

2C

2

2

(по определению ёмкости Q = CU). Демонстрация: Энергия конденсатора

q –q dq

Рис. 23.3

3.5.2. Объёмная плотность энергии электрического поля

Q

–Q

Рассмотрим заряженный плоский конденсатор (РИС. 23.4); заряд

конденсатора равен Q, площадь обкладок – S, расстояние между об-

кладками – d, конденсатор заполнен диэлектриком с относитель-

ной диэлектрической проницаемостью ε. Электрическое поле

d

внутри конденсатора однородно,

его напряжённость равна E . Ём-

кость этого конденсатора C ε0εS

, а напряжение между обкладка-

Рис. 23.4

d

ми (по интегральной связи напряжённости и потенциала) U = Ed. Энергия конденсатора

CU

2

ε εS

2

W

E d

2

ε εE V

0

0

2

2

2d

2

где V = Sd – объём конденсатора.

,

(23.1)

Объёмная плотность энергии электрического поля – энергетическая характеристика поля, равная энергии поля в единичном объёме

w

W

V

для однородного поля,

w

dW

.

dV

для неоднородного поля.

В изотропной среде с относительной диэлектрической проницаемостью ε

w ε0εE2 2 .

(23.2)

183

Доказательство

Пусть в пространстве существует электростатиче-

φ + dφ

ское поле. Разобьём пространство, на

плоские

φ

конденсаторы: вдоль любой пары близко распо-

ложенных друг к другу эквипотенциальных по-

верхностей можно мысленно разместить тонкие

проводники, которые служат обкладками плоско-

го конденсатора (РИС. 23.5) (при этом поле не ис-

казится, так как проводник в электростатическом

поле эквипотенциален). По формулам

(23.1)

и

Рис. 23.5

(23.2) объёмная плотность энергии

w

W

ε εE

2

, ч. т. д.

0

V

2

Так как в изотропной среде D ε0εE ,

w

ε εE E

DE

.

0

2

2

Выражение объёмной плотности энергии электрического поля

w

DE

2

справедливо для любой среды.

Согласно определению объёмной плотности, энергия электрического поля в объёме V

W wdV

DE

dV

2

V

V

.

ПРИМЕР

Энергия электрического поля заряженной сферы

По сфере радиуса R, находящейся в безграничном однородном диэлектрике относительной диэлектрической проницаемостью ε, равномерно распределён заряд Q (РИС. 23.6). Найти энергию электрического поля в сферическом слое, внутренний радиус которого равен r1, а внешний – r2 (r1, r2 > R), концентричном заряженной сфере, и энергию ε электрического поля во всём пространстве.

Сначала нужно найти напряжённость электрического поля. Аналогичная задача (при ε = 1) была решена нами ранее (см. ПРИМЕР 1) В РАЗДЕЛЕ 3.2.3). Воспользовавшись теоремой Остроградского-

Гаусса для

D и связью D и E в изотропном ди-

электрике,

получим, что при r > R (область I на РИС. 23.6)

EIr

Q

,

4πε εr2

0

I

II

Q

O R

r

dr

Рис. 23.6

Смотрите также файлы