199
ной индукции будет перпендикулярен радиусу, проведённому из центра тороида в точку A, где измеряется поле, модуль магнитной индукции будет зависеть толь-
ко от r. Применим теорему о циркуляции |
B |
|
L |
|
0 |
|
|
Bdl μ |
|
I |
|
L |
|
|
|
|
Выберем контур интегрирования L в виде окружности
радиуса r с центром в центре тороида. Циркуляция |
B |
по контуру L |
|
|
Bdl |
|
Bdlcos0 |
B |
|
dl B 2πr . |
|
|
|
L |
|
L |
|
|
|
L |
|
|
|
Сцепленный с контуром L ток |
|
|
|
|
|
|
|
I |
L |
NI . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B2πr μ0NI |
|
B |
μ |
NI |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πr |
при R1 < r < R2.
График зависимости B(r) представлен на РИС. 24.11.
B
Рис. 24.11
Предельный случай
При R1 ≈ R2 ≈ R (тонкий тороид)
B |
μ0NI μ nI , |
(24.4) |
|
2πR |
0 |
|
|
|
|
где n 2NπR – плотность намотки тороида. Формула (24.4) совпадает с (24.3) – ин-
дукцией магнитного поля длинного соленоида.
200
Лекция 25
3.7.3. Теорема Остроградского-Гаусса для магнитной индукции
Теорема Остроградского-Гаусса для |
B |
: поток вектора магнитной индукции |
|
сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю:
Поток вектора магнитной индукции – магнитный поток
Поток магнитной индукции сквозь незамкнутую поверхность не зависит от формы этой поверхностью, а зависит только от ограничивающего её контура.
Доказательство
S1 L
S2
Рис. 25.1
Пусть на |
контур L натянуты две поверхности S1 и |
S2 |
(РИС. 25.1). |
Составная поверхность S1 + S2 – замкнутая. |
По |
теореме Остроградского-Гаусса для B |
|
|
|
|
|
BdS 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
S |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
При вычислении потока по замкнутой поверхности |
dS |
– |
внешняя нормаль. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
BdS |
BdS1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
BdS2 . |
|
|
S |
S |
2 |
|
S |
|
S |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
При расчёте же магнитного потока сквозь незамкнутые поверхности направление
нормали выбирается по правилу правого винта, соответственно, нормали
dS2 |
|
. Из этого следует, что |
будут направлены в одну сторону; dS2 dS2 |
|
BdS1 |
|
|
BdS2 |
0 |
|
|
BdS1 |
|
|
BdS2 |
0 |
, ч. т. д. |
|
|
|
|
ПРИМЕР
Поток однородного магнитного поля сквозь полусферу
Найти поток однородного магнитного поля с индук-
цией B сквозь полусферу радиуса R, при том что силовые линии магнитного поля направлены под углом α к нормали к основанию полусферы (РИС. 25.2).
Полусфера S натянута на окружность радиуса R с центром в центре полусферы – точке O. На ту же окружность натянуто и плоское основание S′. Следовательно, магнитные потоки сквози поверхности S и S′ равны:
|
BdS |
|
|
|
cosα Bcosα dS |
|
|
Φ Φ |
|
BdS |
|
|
S |
|
|
S |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
201
3.7.4. Векторный потенциал
Ротор – векторная функция векторного аргумента – векторное произведение
|
оператора векторного дифференцирования |
на векторную функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
rot B ,B |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В декартовых координатах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
j |
k |
|
|
rot B |
|
|
|
. |
|
x |
y |
z |
|
|
|
|
|
|
|
B |
x |
B |
y |
B |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ротор вектора всегда перпендикулярен этому вектору.
( j – плотность тока) следует, что
|
|
|
rot B μ |
j |
|
(25.1) |
|
|
|
0 |
|
|
– теорема о циркуляции |
B |
в дифференциальной форме. |
|
|
|
Векторный потенциал A – векторная величина – энергетическая характеристика магнитного поля – такая, что
|
rot A B |
, |
|
|
причём |
|
|
|
|
|
div A 0 |
; |
|
|
[A] = Тл·м. |
Подставим определение (25.2) в теорему о циркуляции
rotrot A μ0 j .
Преобразуем левую часть этого равенства по известной формуле двойного векторного произведения:
В декартовых координатах:
|
|
2 |
A2x |
|
2 |
A2x |
|
2 |
Ax |
|
μ0 jx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
μ j |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
z2 |
0 |
y |
|
|
2 A |
|
|
2 A |
|
|
|
2 A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
μ j |
. |
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
0 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
202
Это три независимых дифференциальных уравнения второго порядка в частных производных. Поэтому при известном распределении плотности тока в некоторых случаях удобнее решить эти уравнения по отдельности и найти все компоненты векторного потенциала, а затем по определению (25.2), проведя дифференцирование, найти магнитную индукцию.
Выражение, подобное (25.3), можно получить и для электрической компоненты электромагнитного поля:
(напоминаем, что φ – потенциал, ρ – объёмная плотность заряда). Единая энергетическая характеристика электромагнитного поля:
– 4-потенциал.
Методы расчёта магнитной индукции
метод суперпозиций |
теорема о циркуляции |
через |
3.8. Действие магнитного поля на движущиеся заряды
3.8.1. Движение точечного заряда в магнитном поле
Магнитная составляющая электромагнитного поля действует на точечный заряд
q, движущийся со скоростью
– сила Лоренца (магнитная составляющая) (см. РАЗДЕЛ 3.1.3).
Магнитная составляющая силы Лоренца всегда перпендикулярна скорости частицы. По этой причине магнитное поле не совершает работы.
ПРИМЕР
Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле
Частица массы m, имеющая заряд q > 0, влетает со скоростью v в область пространства, где имеется однородное магнитное поле с индукцией B (РИС. 25.3). Угол между v и B равен α. По какой траектории будет двигаться частица?
Запишем II закон Ньютона для данной частицы
|
|
|
|
ma F2 , |
(25.4) |
где F q vB |
. Сила F |
и ускорение a изображены на РИС. 25.3А, Б в разных проек- |
2 |
|
|
2 |
|
|
циях.