203
|
|
|
|
|
O R |
|
α |
|
|
m, q |
|
|
|
m, q |
|
а |
б |
|
Рис. 25.3 |
|
Сила F2 |
перпендикулярна скорости частицы, |
так же направлено и ускорение, т. е. |
a = an – нормальное ускорение. Следовательно, вдоль оси, параллельной линиям магнитной индукции, частица будет двигаться равномерно, а в проекции на плоскость, перпендикулярную линиям магнитной индукции (плоскость РИСУНКА 25.3Б)
– по окружности.
Спроецируем векторное равенство (25.4) на нормаль к проекции траектории частицы на плоскость, перпендикулярную линиям магнитной индукции:
|
|
|
ma qvBsinα |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
an |
v |
|
По известной формуле кинематики (2.3) |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
тории; |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
v |
qv B R |
|
m |
|
|
R |
|
|
|
|
|
.
, где v = v sin α, R – радиус траек-
Можно также найти шаг спирали, по которой движется частица. При q < 0 траектория будет закругляться в другую сторону. Демонстрация: Электронно-лучевая трубка
|
3.8.2. Действие магнитного поля на проводник с током |
|
|
|
|
Рассмотрим участок проводника длиной dl, находящий- |
|
|
|
ся в магнитном поле с индукцией B , по которому идёт |
|
|
|
ток I (РИС. 25.4). Заряд носителей равен q (будем счи- |
|
q |
|
тать, что в проводнике движутся положительно заря- |
|
I |
женные частицы), скорость упорядоченного движения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– v . На каждый носитель магнитное поле действует с |
|
|
|
силой |
F2 q |
|
vB |
|
. Всего на данном участке проводника |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 25.4 |
находится dN носителей заряда, их общий заряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dQ q dN . |
|
Сила, с которой магнитное поле действует на все эти заряды, |
|
|
|
dF F dN q vB dN dQ vB |
. |
|
|
|
А |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(направим |
dl в сторону упорядоченного движения зарядов), |
|
dl |
|
|
dQ |
dl,B |
|
I |
|
|
, |
dFА dQ |
|
B |
|
|
|
dl,B |
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Закон Ампера:
где dFА – сила Ампера – сила, с которой магнитное поле действует на проводник с током.
ПРИМЕР
Взаимодействие прямых проводов с токами
Имеются два прямых параллельных длинных провода с токами I1 и I2, текущими в одну сторону (РИС. 25.5А). Расстояние между проводами равно d. Найти силу, с которой магнитной поле одного провода действует на отрезок другого провода единичной длины.
Направление индукции магнитного поля B1 |
провода с током I1 в точках, через ко- |
торые проходит провод с током I2, и индукции магнитного поля |
B2 провода с то- |
ком I2 в точках, через которые проходит провод с током I1; |
dF21 |
– сила, с которой |
поле провода с током I1 действует на элемент тока dl2 ; dF12 |
– сила, с которой поле |
провода с током I2 действует на элемент тока dl1 |
показаны на РИС. 25.5А. |
I1 |
I2 |
I1 |
|
I2 |
По закону Ампера
dF12 |
I |
2 |
dl |
|
|
2 |
dF21 |
I |
dl |
|
|
1 |
1 |
,B |
, |
dF12 I2B1dl2 , |
1 |
|
|
|
|
I1B2dl1. |
,B |
|
dF21 |
2 |
|
|
|
205
Модули магнитной индукции (см. ПРИМЕР В РАЗДЕЛЕ 3.7.2)
B |
|
μ |
I |
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2πd |
|
|
|
|
μ I |
I |
. |
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2πd |
|
|
При одинаково направленных токах провода притягиваются. При разнонаправленных токах I1, I2 (РИС. 25.5Б) провода отталкиваются (формула для модуля силы взаимодействия проводов будет той же).
Демонстрация: Взаимодействие прямых токов
3.8.3. Рамка с током в магнитном поле
Поместим прямоугольную рамку 1234 с током I в однородное магнитное поле с
индукцией B ; нормаль к плоскости рамки расположена под углом α к линиям магнитной индукции (РИС. 25.6А). Равнодействующая сил Ампера, с которыми магнитное поле действует на все четыре стороны рамки, равна нулю, но суммарный момент сил нулю равен не будет – рамка будет разворачиваться вокруг оси, перпендикулярной линиям магнитной индукции.
|
4 |
I |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α I |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
α |
|
2 |
|
|
z |
|
2 |
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
б |
|
|
|
Рис. 25.6 |
|
|
|
|
Найдём момент сил Ампера – момент пары сил |
F12 |
и F34 |
. Пусть ось, перпендику- |
лярная линиям магнитной индукции – ось z проходит через сторону 12. Единственная сила, которая имеет ненулевой момент относительно этой оси, это сила
l |
F |
sinα l |
IBl sinα IBS sinα |
23 |
34 |
23 |
34 |
где S = l23l34 – площадь рамки;
206
– магнитный момент рамки – характеристика замкнутого проводника (контура) с током (n – нормаль к поверхности рамки);
[pm] = А·м2.
Вектор магнитного момента показан на РИС. 25.6Б – вид со стороны 23 рамки. Направление магнитного момента выбирается в соответствии с направлением тока в рамке по правилу правого винта.
Соотношение (25.5) справедливо и для рамки произвольной формы. Магнитное поле стремится развернуть рамку с током так, чтобы её магнитный момент был направлен вдоль линий магнитной индукции.
Демонстрации: 1) Рамка с током в магнитном поле
2)«Сознательные» катушки
3.8.4.Работа силы Ампера
1. Работа при повороте рамки с током в магнитном поле
Рассмотрим рамку с током, находящуюся в однородном магнитном поле (см. ПРЕДЫДУЩИЙ РАЗДЕЛ). Чтобы повернуть рамку на угол dα, внешние силы должны совершить работу
|
|
|
* |
* |
dα Mdα Mdα pmBsinαdα , |
|
|
|
|
δA |
M |
|
здесь M |
* |
M |
– момент внешних сил, вектор углового перемещения dα |
обозна- |
|
чено на РИС. 25.6Б и направлен «на нас», так как угол принято отсчитывать против часовой стрелки; M pmBsinα по формуле (25.5).
Приращение энергии контура в магнитном поле при повороте на малый угол dα
Положим константу в этой формуле равной нулю; получим
График зависимости W(α) представлен на РИС. 25.7.
|
W |
α = 0 – устойчивое равновесие; |
|
α = π – неустойчивое равновесие. |
|
|
207
Лекция 26
3.8.4. Работа силы Ампера (продолжение)
2. Работа при перемещении проводника с током в магнитном поле
Пусть прямолинейный проводник длиной l, по которой идёт ток I, движется в магнитном поле. Магнитное поле действует на провод-
|
ник с силой Ампера F I |
|
l,B |
|
. Работу будет совершать составляю- |
|
|
|
|
|
|
|
|
щая этой силы, перпендикулярная проводнику, |
|
|
|
|
F IlB , |
где B – компонента вектора магнитной индукции, перпендикулярная плоскости движения проводника (РИС. 26.1).
Работа магнитного поля по перемещению проводника на малое
расстояние dx (соответствующее перемещению dr )
δA F dr F dx IlB dx IB dS IdΦ,
здесь dS – площадь поверхности, ометаемой проводником при малом перемещении dx (заштрихованная область на РИС. 26.1), dΦ – магнитный поток сквозь эту поверхность.
При перемещении проводника из положения 1 в положение 2
|
|
2 |
|
|
|
A |
|
IdΦ . |
|
|
|
|
1 |
|
|
При I = const |
|
|
|
|
|
|
|
A IΔΦ |
. |
Это выражение мощно обобщить на случай проводника произвольной формы.
В РАЗДЕЛЕ 3.8.1 мы пояснили, что сила Лоренца не совершает работы. Почему же совершает работу сила Ампера, которая есть суперпозиция сил Лоренца, с которыми магнитное поле действует на отдельные носители заряда в проводнике? На самом деле работу совершает не магнитное поле, а источник тока.
|
3. Работа при перемещении контура с током в магнитном поле |
|
|
|
Пусть имеется замкнутый проводник с током |
1 |
|
1′ |
|
I, находящийся в магнитном поле. Проводник |
|
|
|
|
|
|
перемещается из положения 12 в положение |
|
|
|
|
1′2′ (РИС. 26.2). Найдём работу магнитного |
I |
|
I |
|
поля по перемещению двух половин этого |
Φ0 |
|
Φ1 |
Φ2 |
|
контура – 12 и 21 по формуле (26.1): |
|
|
|
|
A A12 A21 I Φ1 Φ0 I Φ2 Φ0 |
|
|
|
|
I Φ2 Φ1 , |
2 |
|
2′ |
|
где Φ1 – магнитный поток сквозь поверх- |
|
Рис. 26.2 |
|
|
ность, ограниченную контуром 12, Φ2 – кон- |
|
|
|
|
туром 1′2′, Φ0 – контуром 11′2′2 (РИС. 26.2); |
|
|
|
A IΔΦ ,
