212
магнитной индукции показано на РИС. 26.5, её модуль
(см. ПРИМЕР 2) В РАЗДЕЛЕ 3.7.2), n Nl – плотность намотки соленоида.
Магнитный поток сквозь один виток соленоида
потокосцепление
Ψ NΦ μ0N2S I . l
Индуктивность соленоида
L Ψ μ0N2S .
I l
Эта величина зависит только от размеров и числа витков соленоида, как и следовало ожидать.
2) Расчёт индуктивности тонкого тороида
Найти индуктивность тонкого тороида радиуса R, сечением S, имеющего N витков (РИС. 26.6).
Пустим по тороиду ток I. Задача о нахождении индукции магнитного поля тороида была рассмотрена в РАЗДЕЛЕ 3.7.2, ПРИМЕР 3. Модуль магнитной индукции
направление B показано на РИС. 26.6. Магнитный поток сквозь один виток тороида
потокосцепление
Ψ NΦ μ0N2S I . 2πR
Индуктивность тонкого тороида
L Ψ μ0N2S μ0N2S , I 2πR l
где l = 2πR – длина тороида. Демонстрация: Экстра-ток размыкания
213
ПРИМЕР
Экстра-ток размыкания
Катушка индуктивностью L и сопротивлением R подключена к источнику постоянного тока параллельно с лампой накаливания, сопротивление которой равно R′ (схема на РИС. 26.7). В начальный момент времени ключ K размыкают и катушка вместе с лампой отключаются от источника. Найти зависимость тока в цепи от времени.
I |
R′ |
|
После размыкания ключа изменяющийся ток в катушке приво- |
|
дит к возникновению электрического поля, энергетическая ха- |
|
|
|
I |
R, L |
|
рактеристика которого – ЭДС самоиндукции Es L |
dI |
. Это един- |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
ственная ЭДС в цепи после размыкания ключа. |
|
|
|
|
Применим обобщённый закон Ома: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
dI |
|
|
|
Рис. 26.7 |
|
I R R Es |
I R R |
L dt . |
|
|
|
|
Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении и |
|
|
|
проинтегрируем: |
|
|
|
|
|
|
|
dI |
|
R R |
dt |
, |
|
|
|
|
|
I |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
dI |
|
R R |
t |
|
|
|
|
I |
|
|
R R |
|
|
|
|
dt ln |
|
|
t , |
I |
L |
I |
|
|
L |
|
|
|
|
I |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I t I0e |
|
R R |
t |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
. |
|
|
(26.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– ток в катушке до размыкания ключа (внутреннее сопротивление
источника считаем пренебрежимо малым по сравнению с сопротивлением катушки). График функции (26.9) представлен на РИС. 26.8.
В этом примере мы рассмотрели пример ре-
лаксационного процесса, т. е. процесса при-
ближения какой-либо физической величины к её равновесному значению – в данном случае при t → ∞ I → 0. Характерный параметр этого процесса – время релаксации – время, за которое сила тока в цепи уменьшится в e раз:
Теперь разберёмся, почему лампа сразу после размыкания ключа ярко вспыхивает, как мы видели в демонстрационном экс-
перименте. Сравним ток в лампе до размыкания ключа
I E
0 R
с током I после размыкания:
|
|
|
|
R R |
t |
1 |
|
При малых t (сразу после размыкания ключа) |
e |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тивление лампы накаливания сравнительно велико), то резко увеличивается, а, значит, лампа ярко вспыхивает.
и, если R′ >> R (а сопро-
3.9.3. Взаимная индукция |
|
|
|
Пусть имеются два замкнутых проводящих контура 1 и |
|
|
|
2, расположенные достаточно близко друг к другу |
I1 |
I2 |
|
(РИС. 26.9). По контуру 1 идёт ток I1, так что контур 2 |
|
|
|
|
|
|
находится в магнитном поле контура 1. Поток индук- |
|
|
|
ции магнитного поля контура 1 сквозь поверхность, |
|
|
|
натянутую на контур 2, Φ12 ~ I1, так как B1 ~ I1. Если ток |
|
1 |
2 |
I1 переменный, то в проводнике 2 возникает перемен- |
|
|
|
|
|
|
ное электрическое поле и ток I2. В свою очередь, контур |
|
Рис. 26.9 |
|
2 создаёт магнитное поле, пронизывающее контур 1; |
|
|
|
соответственно, магнитный поток Φ21 ~ I2. Таким образом два проводника влияют друг на друга.
Взаимная индукция – частный случай явления электромагнитной индукции – возникновение электрического поля в проводнике под действием переменного тока в другом проводнике, близко расположенным к данному проводнику.
Магнитный поток сквозь поверхность, натянутую на проводник 2, создаваемый проводником 1,
– коэффициент взаимной индукции (взаимная индуктивность) – характери-
стика взаимного влияния проводников. Коэффициент взаимной индукции зависит от формы, размера проводников, их взаимного расположения, магнитных свойств среды. Возможно M12 < 0.
ПОЗДНЕЕ мы докажем, что в отсутствие ферромагнетиков коэффициенты взаимной индукции равны:
– теорема взаимности.
Закон Фарадея-Максвелла для случая взаимной индукции:
E12 M12 dIdt1 , E21 M21 dIdt2 .
Демонстрация: Взаимная индукция
215
ПРИМЕР
Расчёт взаимной индуктивности двух длинных соленоидов, надетых друг на друга
На катушку длиной l и сечением S навито две обмотки с числом витков N1 и N2 (РИС. 26.10А), соединённые последовательно так, что ток по ним будет течь в одну сторону (схема на РИС. 26.10Б). Найти взаимную индуктивность обмоток и индуктивность системы.
I |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
I |
L1 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 26.10
Пустим по обмоткам ток I. Магнитные поля, создаваемые обеими обмотками, однородны, так как соленоид длинный, и направлены в одну сторону (РИС. 26.10А).
Модуль индукции магнитного поля обмотки 1 (см. ПРИМЕР 2) В РАЗДЕЛЕ 3.7.2)
Поток магнитного поля, создаваемого обмоткой 1, сквозь поверхность, натянутую на виток обмотки 2,
|
Φ12 B1Sn2 |
B1S |
μ N SI |
, |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
потокосцепление
|
Ψ |
N Φ |
|
μ N N SI |
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
12 |
2 |
12 |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично потокосцепление обмотки
Коэффициенты взаимной индукции
2, обусловленное током в обмотке 1,
|
μ N N SI |
. |
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
l |
|
|
|
μ N N S |
M21 . |
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
l |
|
|
Получилось M12 = M21; таким образом мы доказали теорему взаимности для частного случая.
Потокосцепление всей системы
Ψ Ψ11 Ψ22 Ψ12 Ψ21 ,
где Ψ11, Ψ22 – собственные магнитные потоки обмоток 1 и 2 соответственно;
