217
Лекция 27
3.10. Энергия магнитного поля
3.10.1. Энергия проводника с током
Пусть проводник индуктивностью L включён в электрическую цепь. Найдём энергию проводника при токе I, т. е. работу индуцированного электрического поля (ЭДС самоиндукции Es) при возрастании тока в проводнике от 0 до I.
Приращение энергии при перемещении по проводнику малого заряда dq
dW
здесь δA* – работа внешних сил, δAs
а Es L dtdI ,
dW
– работа электрического поля. Так как dq = Idt,
Энергия магнитного поля проводника индуктивностью L при токе I
|
LI2 |
Φ I |
|
Φ2 |
|
|
W |
2 |
s |
|
s |
, |
(27.1) |
2 |
2L |
где Φs – собственный магнитный поток (потокосцепление) проводника.
3.10.2. Энергия взаимодействия проводников с токами
Пусть имеются два проводника с токами I1 и I2, расположенные близко друг к другу (РИС. 26.9). Энергия магнитного поля этой системы
W
где W12 – взаимная энергия.
Энергия магнитного поля равна работе источников тока, которая необходима для того, чтобы это поле создать, т. е. увеличить токи в проводниках от 0 до I1 и I2 соответственно. Сначала доведём ток в контуре 1 от 0 до I1 (при разомкнутом контуре 2); работа источника в контуре 1 по (27.1)
где L1 – индуктивность проводника 1. Затем замкнём контур 2 и увеличим ток в нём от 0 до I2. Работа источника в контуре 2
A2* W2 L22I22 ,
здесь L2 – индуктивность проводника 2. Но при этом благодаря взаимной индукции в контуре 1 будет возникать электрическое поле (ЭДС взаимной индукции
E21 M21 dIdt2 ). Чтобы скомпенсировать его влияние, источник в контуре 1 должен совершать дополнительную работу по перемещению малого заряда dq1 = I1dt
интеграл от этого выражения по I2 при I1 = const – взаимная энергия
Итак, энергия магнитного поля двух проводников
|
W |
L I |
2 |
|
L I |
2 |
M |
|
|
|
|
|
|
I |
I |
|
|
1 |
1 |
2 |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
21 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если действовать в обратной последовательности, т. е. сначала увеличивать ток в контуре 2, затем – в контуре 1, то результат должен быть тем же:
W W1 W2 W12 W1 W2 W21 W12 W21 M12 M21 .
Мы доказали теорему взаимности (см. РАЗДЕЛ 3.9.3).
3.10.3. Объёмная плотность энергии магнитного поля
Энергия магнитного поля длинного прямого соленоида индуктивностью L, по которому идёт ток I,
|
|
W |
LI |
2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Индуктивность соленоида |
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
2 |
S |
|
μ N |
2 |
Sl |
|
L |
μ N |
|
|
μ n V |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
l |
|
|
|
l |
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где N – число витков соленоида, l – его длина, S – площадь поперечного сечения,
|
V = Sl – объём соленоида, n |
N |
– плотность намотки. Подставим (27.2) в (27.1): |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
B |
2 |
|
|
|
|
W |
μ n I |
|
V |
|
V , |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
так как модуль индукции магнитного поля длинного соленоида B = µ0nI.
Объёмная плотность энергии магнитного поля
Этот результат обобщается на случай неоднородного магнитного поля.
|
В вакууме напряжённость магнитного поля |
H |
B |
|
μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
BH |
|
; |
|
|
|
2 |
|
|
эта формула справедлива для любой среды. В однородной неферромагнитной среде
w B2
2μ0
219
(относительная магнитная проницаемость неферромагнитной среды µ ≈ 1, см.
3.11.6).
Энергия неоднородного магнитного поля в области пространства объёмом V
В общем случае объёмная плотность энергии электромагнитного поля
|
w |
DE |
|
BH |
, |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
– электрическое смещение, E |
– напряжённость электрического поля. |
3.11. Магнитное поле в веществе
3.11.1. Макротоки и микротоки. Намагниченность
Макротоки – упорядоченное движение заряженных частиц, при котором частицы перемещаются на расстояния, много большие межмолекулярных.
Микротоки – движение заряженных частиц внутри атомов и молекул.
Магнитное поле в веществе определяется полем макротоков и усреднённым полем микротоков:
B B0 B .
поле макротоков |
поле микротоков |
|
Каждый электрон в атоме (молекуле), двигаясь вокруг ядра, создаёт микроток и собственное магнитное поле; это движение характеризуется микротоком i и маг-
нитным моментом pm . В отсутствие внешнего магнитного поля (макротоков) все
магнитные моменты атомов ориентированы разнонаправленно и
ТАБЛ. 27.1).
220
Таблица 27.1
Процесс намагничивания
B |
0 |
|
B |
|
0 |
63 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
m |
|
|
m |
|
p |
|
|
0 |
|
|
p 0 |
|
|
|
|
|
i |
B 0 |
|
B |
|
B 0 |
|
|
|
|
Вещество намагничивается, т. е. приобрета- |
|
|
|
|
ет отличный от нуля магнитный момент. |
Намагниченность – векторная характеристика магнитного поля в веществе, равная дипольному моменту вещества, занимающего единичный объём:
3.11.2. Теорема о циркуляции намагниченности, магнитной индукции и напряжённости магнитного поля
Циркуляция магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру равна сумме макротоков и микротоков, сцепленных с этим контуром:
Здесь и далее в этом параграфе I – макроток, i – микроток64.
Вторая сумма в правой части этого равенства не поддаётся прямому вычислению, так как распределение микротоков заранее не известно.
2) Теорема о циркуляции J
Проведём внутри вещества (магнетика) замкнутый контур L (РИС. 27.1А)и подсчитаем сумму микротоков, сцепленных с этим контуром.
63На рисунке в этой колонке показано, что магнитные моменты молекул выстраиваются вдоль поля макротоков. Так происходит, если вещество парамагнитно (см. РАЗДЕЛ 3.11.8). У диамагнетиков (РАЗДЕЛ 3.11.7) магнитные моменты молекул выстраиваются, наоборот, против внешнего поля.
64В «живой» лекции можно обозначать Iмакро, iмикро или другим образом.