241
Лекция 30
3.13. Электромагнитные колебания
В электрической цепи, содержащей конденсатор и катушку индуктивности (или проводники, обладающие отличными от нуля ёмкостью и индуктивностью) – колебательном контуре – могут возникать электромагнитные колебания. Если сообщить конденсатору заряд и замкнуть цепь, то конденсатор будет разряжаться через катушку. По катушке будет идти переменный ток, который по закону электромагнитной индукции будет создавать в катушке индуцированное электрическое поле, препятствующее изменению тока. Конденсатор будет разряжаться и перезаряжаться, а ток в цепи расти, убывать и менять направление: заряд конденсатора и ток в цепи будут изменяться периодически, т. е. будут происхо-
дить электромагнитные колебания.
3.13.1. Свободные незатухающие колебания (R = 0)
Схема электрической цепи, в которой происходят свободные незатухающие электромагнитные колебания, представлена на РИС. 30.1. Так как сопротивление цепи равно нулю, ток будет изменяться по модулю и направлению, а конденсатор перезаряжаться неограниченно долго – возникнут свободные незатухающие электромагнитные колебания.
Обобщённый закон Ома для контура 12 (1 и 2 – обкладки конденсатора)
Es – ЭДС самоиндукции – единственная ЭДС в этой цепи. Разность потенциалов между обкладками конденсатора
|
по закону электромагнитной индукции |
|
|
|
|
Es L |
dI |
. |
(30.3) |
|
dt |
|
|
|
|
|
По определению силы тока |
I |
dq |
. Подставив это выражение, а также (30.2) и |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(30.3) в уравнение (30.1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
L |
d q |
0 |
, |
|
|
|
C |
dt |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2q q 0 . dt2 LC
Это дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний (см. 1.14.2).
, запишем его в стандартном виде (16.1)
d2q ω2q 0 . dt2 0
Общее решение этого уравнения
A и φ – постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий.
Собственная циклическая частота колебательного контура
период свободных незатухающих электромагнитных колебаний
|
Зависимость тока от времени |
|
|
|
I t |
dq |
Aω0 sin ω0t φ . |
|
dt |
|
|
|
Пусть в начальный момент времени заряд конденсатора равен q0, а тока в цепи нет. Подставим начальные условия в общее решение (30.4) и формулу (30.5):
q t q cosω t, |
|
0 |
0 |
|
|
|
I t qω sinω t. |
|
0 |
0 |
Напряжение на конденсаторе
Графики зависимостей q(t) и I(t) при указанных начальных условиях показаны на РИС. 30.2А, Б. Видно, что ток опережает заряд конденсатора (и напряжение на кон-
Энергия электромагнитного поля в колебательном контуре (энергия колебательного контура) складывается из энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля катушки:
|
2 |
|
LI |
2 |
|
2 |
|
LI |
2 |
W |
q |
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
m |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2C |
|
2 |
|
2C |
|
2 |
где qm, Im – соответственно амплитуды заряда конденсатора и тока в цепи. Студенты доказывают утверждение (30.6) самостоятельно.
243
q q0
–q
а
I
q0ω0
–q0ω0
б
Рис. 30.2
3.13.2. Свободные затухающие колебания
Пусть теперь электрическое сопротивление цепи отлично от нуля (см. схему на РИС. 30.3, содержащую элемент R).
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
Обобщённый закон Ома для участка цепи 12: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ1 φ2 |
Es IR . |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
(30.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим в это уравнение выражения (30.2) и (30.3): |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
L |
dI |
IR . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 30.3 |
|
|
Учитывая, что I |
dq , запишем это уравнение как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
R dq |
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d q |
|
|
|
0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
2 |
L dt |
LC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обозначим |
1 |
|
ω2 |
, |
R |
2β , где β – коэффициент затухания; получим уравнение |
|
LC |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
244
2 |
|
|
dq |
|
|
d q |
2β |
2 |
|
|
2 |
|
ω q 0 |
(30.8) |
dt |
|
dt |
0 |
|
|
|
|
– дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний (см. 1.14.3). Это однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными ко-
эффициентами. Его характеристическое уравнение
Корни этого уравнения
λ1,2 β β2
Эти корни могут быть как действительными, так и комплексными. Общее решение дифференциального уравнения (30.8)
|
|
|
|
|
|
q t A1e |
λ t |
A2e |
λ t |
, |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 и A2 – постоянные интегрирования. |
|
|
|
|
|
1. Сильное затухание (β ≥ ω0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Корни характеристического уравнения (30.9) |
– |
q |
действительные. Общее решение дифференци- |
|
ального уравнения (30.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
t |
|
|
β |
2 |
2 |
t |
|
|
|
|
q t A e |
|
β β |
ω |
A e |
|
β |
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– апериодическое решение (разрядка конденсато-
ра). График этого решения представлен на
РИС. 30.4 (q0 – заряд конденсатора при t = 0). 0 t
2. Слабое затухание (β < ω0) |
Рис. 30.4 |
|
Корни характеристического уравнения (30.9) – комплексные. дифференциального уравнения (30.8)
|
|
β i |
2 |
β |
2 |
|
t |
|
|
β i |
2 |
β |
2 |
t |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
ω |
|
|
ω |
|
|
βt |
|
i |
t |
|
i |
q t A e |
|
0 |
|
|
|
A e |
|
0 |
|
|
|
e |
A e |
ω |
β |
A e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
Обозначим
ωω02 β2
–циклическая частота свободных затухающих колебаний. Общее решение удобно представить в виде
q t A e βt cos ωt φ |
, |
(30.10) |
0 |
где A0 и φ – постоянные интегрирования, значения которых определяются из начальных условий.
Период затухающих колебаний
Амплитуда затухающих колебаний
A t A0e βt ;