Файл: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.03.2025

Просмотров: 3958

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

245

затухающие колебания можно рассматривать как гармонические колебания с переменной амплитудой:

q

График функции (30.10) при φ = 0 q

t Acos ωt φ .

показан на РИС. 30.5.

0

T

t

Рис. 30.5

Зависимость тока в цепи от времени

I t

dq

A e

βt

βcos ωt φ ωsin ωt φ

A e

βt

β

2

2

ω

dt

0

0

β

cos ωt

φ

ω

sin ωt

βt

φ

A e

β

2

2

ω sin ωt φ θ ;

β

2

ω

β

2

ω

0

2

2

sin θ

cos θ

β

tgθ

.

ω

Ток отстаёт от напряжения по фазе на π θ .

2

Введём ещё некоторые характеристики затухающих колебаний.

Логарифмический декремент затухания

δ ln

A t

.

A t T

Выразим логарифмический декремент через другие характеристики колебаний:

δ ln

A e

βt

βT

2πβ

.

0

A e

βt

e

βT

ω

0

Время релаксации – время, за которое амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e раз:

246

t

A e

βt

A

e

e

e βτ 1

A t τ

0

βτ

,

A e

βt

e

βτ

0

τ

1

.

β

Число колебаний за время релаксации, т. е. число колебаний, за которое их ам-

плитуда уменьшается в e раз,

Ne

τ

1

1

.

T

βT

δ

Отсюда ясен физический смысл логарифмического декремента затухания. Добротность колебательного контура

Q

π

δ

Эта величина пропорциональна уменьшается в e раз.

Энергия затухающих колебаний

π

πN

πω

ω

βT

e

2πβ

2β

числу колебаний,

.

за которое их амплитуда

В колебательной системе с затуханием происходит диссипация энергии. Так как электрическое сопротивление цепи отлично от нуля, энергия электромагнитного поля переходит во внутреннюю энергию проводников.

Энергия колебаний пропорциональна квадратам амплитуд всех колеблющихся

величин:

W

~q2 m

~ I2 m

~U2 m

~e

2βt

.

Относительное уменьшение энергии за период

W

W

W

При малом затухании (δ << 1)

t W t

W t

W

2δ

W

T

1

e

2βT

. Тогда

1 e

2δ

.

Q

2π

W

W

2πW

W

.

Чем выше добротность колебательной системы, тем медленнее убывает энергия колебаний.

3.13.3. Вынужденные колебания

1 C 2 L

R

~

E

Рис. 30.6

Теперь включим в колебательный контур источник с переменной ЭДС (РИС. 30.6), изменяющейся по гармоническому закону:

E U cosΩt

0

– вынуждающей ЭДС.

Обобщённый закон ома для участка 12:

φ1 φ2 E Es IR .

(30.11)

Подставив сюда (30.2) и (30.3), получим

247

с учётом I

Обозначим,

мет вид

dq dt

как и ПРЕЖДЕ,

q

U0 cosΩt L

dI

IR ;

C

dt

2

dq

q

L

d q

R

U

cosΩt

,

dt

2

dt

C

0

d2q

R dq

q

U0

cosΩt .

dt2

LC

L dt

L

1

2

,

R

2β , а также

U0

LC

ω0

L

L

2

dq

d q

2β

2

2

ω q F cosΩt

dt

dt

0

0

F0

. Уравнение (30.11) при-

(30.12)

– дифференциальное уравнение вынужденных гармонических колебаний. Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Далее рассматриваем случай СЛАБОГО ЗАТУХАНИЯ.

Общее решение дифференциального уравнения (30.12):

q t A e βt cos ωt φ q cos Ωt φ

.

(30.13)

0

0

0

общее решение ОДУ частное решение НДУ

Общее решение однородного дифференциального уравнения [(30.8) или (30.12) без правой части] быстро затухает, далее мы его учитывать не будем. Найдём коэффициенты q0 и φ0 в частном решении неоднородного уравнения [и убедимся в том, что это решение действительно имеет вид второго слагаемого в выражении

(30.13)].

Подставим в (30.12):

q t q0 cos Ωt φ0

,

I t

dq

Ωq0 sin Ωt φ0 ,

dt

d2q

Ω2q cos Ωt φ ;

dt2

0

0

получим

Ω2q0 cos Ωt φ0 2βΩq0 sin Ωt φ0 ω02q0 cos Ωt φ0 F0 cosΩt .

Преобразуем левую часть этого равенства:

248

q

ω

Ω

cos Ωt φ

2βΩsin Ωt φ q

ω

2

2

2

0

0

0

0

0

0

2

2

Ω

2βΩ

ω

cos Ωt φ

0

2

2

Ω

0

0

0

2

2

2

Ω

2

2

Ω

2

2

Ω

2

ω

4β

ω

4β

0

0

2

2

2

2

0

q

2

Ω

Ω

cos Ωt

φ θ

,

cos θ

ω

4β

tgθ

2βΩ

.

ω2

Ω2

0

Ω

2

4β

Ω

2

2

2

sin Ωt φ

0

sin θ

Итак,

0

0

2

0

0

2

2

q

2

2

θ

F cosΩt

ω

Ω

4β

Ω

cos Ωt φ

Это равенство должно выполняться при любых t, поэтому

.

0

0

0

2

2

2

2

Ω

2

F

,

q

ω

Ω

4β

φ θ cosΩt.

cos Ωt

0

Отсюда получим:

φ θ

0

– колебания заряда опережают вынуждающую ЭДС по фазе на θ;

q

F

0

0

0

2

Ω

2

2

2

Ω

2

ω

4β

– амплитуда заряда конденсатора.

Запишем окончательные выражения зависимостей заряда конденсатора и силы тока в цепи от времени:

q t

F

cos Ωt θ ,

0

0

2

Ω

2

2

2

2

ω

4β Ω

F Ω

I0 – амплитуда силы тока

I t

sin Ωt θ

0

0

2

Ω

2

2

2

Ω

2

ω

4β

Так как

π

θ

Ωt θ

π

, ток отстаёт по

sin Ωt θ sin θ Ωt cos

Ωt

cos

2

2

фазе от заряда конденсатора на

π

.

2

Обозначим

Z U0 I0

– полное сопротивление (импеданс) цепи. (Эта величина вводится по аналогии с законом Ома для участка цепи U = IR: если сопротивление R проводника – это коэффициент пропорциональности между током и напряжением на этом участке, то

249

импеданс Z – это коэффициент пропорциональности между амплитудным значением тока и амплитудным значением напряжения на клеммах участка цепи, т. е. вынуждающей ЭДС.)

Выразим полное сопротивление цепи, а также сдвиг фаз между зарядом конденсатора и вынуждающей ЭДС через её параметры R, L, C:

2

L

2

Ω

Z

1

LC

2

2

2

2

2

U

4β

Ω

ω Ω

U L

1

0

0

0

F Ω

U

Ω

LC

0

0

2

2

2

2

2

R

L

L

2

L

Ω

2

Ω

Ω

Ω

2

2

Ω

L

ΩLC

tgθ

2RΩ

R

1

2

L

Ω2L

2L

Ω

LC

ΩLC

Ω

2

Z

R

2

1

,

tgθ

ΩC

ΩL

2

2

R

2

4

2 Ω

2

Ω

4L

1

2

R

2

R

2

ΩL

,

ΩC

R

;

1

ΩL

ΩC

R

.

(30.14)

1

ΩL

ΩC

Смотрите также файлы