273
где h – толщина воздушного зазора между линзой и пластинкой. Дополнительная
|
разность хода |
λ |
появляется за счёт отражения волны 2 от оптически более плот- |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ной среды. Выразим h через расстояние r от вершины линзы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
2 |
|
|
|
r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h R R2 r2 R R 1 |
|
|
|
R 1 |
1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так как r << R, |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h R 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2R |
2 |
2R |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
r |
2 |
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие интерференционных максимумов (светлых колец): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ mλ , |
r |
|
|
2m 1 λR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– радиус m-го светлого кольца; m = 0, 1, 2, …
Условие интерференционных минимумов (тёмных колец):
δ 2m 1 λ ,
2
– радиус m-го тёмного кольца; m = 1, 2, …
O
274
В центре интерференционной картины наблюдается тёмное пятно (при h = 0
|
δ |
λ |
– интерференционный минимум), ограниченное первым светлым кольцом. |
|
2 |
|
|
|
Демонстрация: Интерференция в тонких плёнках
Все рассмотренные выше схемы получения когерентных волн можно реализовать и в проходящем свете: падающая волна проходит через первую поверхность тонкой плёнки, отражается от второй, а затем от первой, наконец, проходит через вторую поверхность.
4.1.4. Пространственная и временная когерентность
Реальная электромагнитная волна, излучаемая в течение конечного промежутка времени, не является монохроматической. Спектр её циклических частот имеет конечную ширину ω. Такую волну можно считать монохроматической в течение времени
τког – время когерентности. Волна с циклической частотой ω и фазовой скоростью v распространяется за это время на расстояние
lког – длина когерентности (длина гармонического цуга).
ПРИМЕР
Для видимого солнечного света с частотой
lког ~ 10–6 м.
Пусть длины волн лежат в пределах от λ до λ ± ω ± ω;
так как λ v |
|
2πv |
, ω |
2πv |
. |
ω |
|
ν |
|
|
λ |
ν = (4∙1014 ÷8∙1014) Гц τког ~ 10–14 с,
λ, а циклические частоты – от ω до
Критерий Рэлея: интерференционная картина остаётся ещё различимой до максимумов порядка m0 для света с длиной волны λ + λ (Δλ > 0), который накладывается на ближайший к нему минимум для света с длиной волны λ.
Выразим m0:
m0 λ λ 2m0 1 2λ m0 2λλ .
Соответствующая критерию Рэлея оптическая разность хода интерферирующих волн, т. е. оптическая разность хода, при которой интерференционная картина различима,
δ m λ |
λ2 |
|
πv |
vτ |
l . |
|
|
0 |
2 λ |
|
ω |
ког |
ког |
|
|
|
|
Таким образом мы вывели формулы (34.3) и (34.4), выразив λ через ω из (34.5).
275
Лекция 35
4.2. Дифракция электромагнитных волн
Дифракция – совокупность явлений, связанных с поведением волны на неоднородностях среды, в которой волна распространяется.
Любое изображение имеет дифракционную природу: электромагнитные волны взаимодействуют с каким-либо объектом (предметом), нарушающим оптическую однородность среды, а затем поступают в приёмник, в котором создаётся изображение этого предмета.
Для расчёта дифракционной картины нужно записать волновое уравнение и решить его с учётом граничных условий. Так как решение этого уравнение в общем случае весьма сложно, разработаны приближённые методы расчёта дифракционной картины.
4.2.1. Принцип Гюйгенса-Френеля
1.Любая точка пространства, до которой доходит волна, становится источником вторичных сферических волн. Огибающая этих волн даёт новое положение фронта волны.
2.Вторичные источники когерентны друг другу.
3.Амплитуда волн, испускаемых вторичными источниками, пропорциональна площади поверхности этих источников.
4.Вторичные источники излучают преимущественно в направлении фронта волны. Обратного излучения нет.
Дифракционная картина – результат интерференции волн, испускаемых бесконечным числом вторичных источников.
4.2.2. Метод зон Френеля. Дифракция на одной щели
Пусть на щель шириной b в непрозрачном экране падает по нормали плоская монохроматическая волна (длина волны λ). За щелью расположена собирающая линза Л, фокусирующая излучение, прошедшее через щель, на экране Э , находящемся в фокальной плоскости линзы (РИС. 35.1). Положим b << L, где L – расстояние между щелью и линзой. Излучение, выходящее из щели под углом α к оси системы (к нормали к плоскости щели и экранам), собирается в точке M на экране Э.
Л
276
Волны, приходящие в точку M из разных точек щели, когерентны, поэтому в результате интерференции они могут либо усиливать, либо ослаблять друг друга. Проблема качественного анализа дифракционной картины и расчёта интенсивности света решается методом зон Френеля.
Зона Френеля – область волнового фронта, такая, что разность фаз волн, испускаемых вторичными источниками на границах этой области, равна π (разность хода
). Таким образом, излучение от соседних зон Френеля гасит друг друга.
A
α
C
b
α
B
Рис. 35.2
Построим зоны Френеля для прямоугольной щели шириной b. Оптическая разность хода между волнами, идущими под углом α к оси системы из крайних точек щели,
δ AC bsinα
(РИС. 35.2). Число зон Френеля, которые помещаются на щели,
n AC 2bsinα .
λ λ
2
λ
Зоны Френеля для щели имеют форму полос шириной 2sinα . Соответственно,
площади всех зон одинаковы. Поэтому амплитуды волн, испускаемых каждой зоной, также одинаковы:
Амплитуда результирующего колебания в точке M, по принципу суперпозиции полей, складывается из амплитуд колебаний, посылаемых всеми зонами, с учётом направления светового вектора. Так как волны из соседних зон приходят в противофазе, то соответствующие световые векторы направлены противоположно друг другу и их проекции (амплитуды соответствующих колебаний) суммируются с разными знаками:
Для нечётного числа зон Френеля EΣ = E, для чётного числа зон EΣ = 0. Получается, что если щель открывает нечётное число зон Френеля, то в точке M наблюдается интерференционный максимум, а если чётное – то минимум.
При чётном n
– условие минимумов при дифракции света на щели.
При нечётном n
– условие максимумов при дифракции света на щели.
Можно вывести формулу для распределения интенсивности при дифракции света на щели
|
sin |
2 |
πbsinα |
|
|
|
|
I I |
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
πbsinα |
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
где I0 – интенсивность волны, падающей на щель. График зависимости I(α) представлен на РИС. 35.3.
I
ширина нулевого максимума
Рис. 35.3