278
Демонстрация: Дифракция на щели
4.2.3. Дифракционная решётка
Дифракционная решётка – периодическая структура, состоящая из прозрачных и непрозрачных участков (РИС. 35.4).
|
|
|
|
|
На РИС. 35.4 b – ширина щели, d – период (по- |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
стоянная) решётки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть на решётку падает плоская монохро- |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
матическая волна (длина волны λ). Происхо- |
|
|
|
|
|
|
Рис. 35.4 |
|
дит дифракция электромагнитной волны на |
|
|
щелях: согласно принципу Гюйгенса- |
|
|
|
|
|
Френеля, каждая точка щели является источником сферических вторичных волн. За решёткой располагается линза Л. В фокальной плоскости линзы расположен экран Э, на котором наблюдается дифракционная картина. Расстояние от решётки до линзы и экрана много больше периода решётки. Волны, выходящие из решётки под углом φ, фокусируются на экране в точке M (РИС. 35.5).
Рис. 35.5
Проанализируем, какая картина будет наблюдаться на экране Э.
1.Волны, исходящие от сходственных
точек всех щелей (РИС. 35.6), будут |
|
|
|
|
|
|
|
|
усиливать друг друга, если их раз- |
|
|
|
|
ность хода |
|
|
|
φ |
|
|
|
|
mλ , |
|
|
|
m – целое число. В соответствующих |
d |
φ |
|
|
|
|
|
точках на экране будут наблюдаться |
|
|
|
|
главные дифракционные максиму- |
|
|
|
|
мы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие главных максимумов: |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
dsinφ mλ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 35.6 |
m = 0, ±1, ±2, … – порядок спектра. |
|
|
|
|
|
|
|
2.Главные минимумы соответствуют углам дифракции, в направлении которых каждая щель не посылает свет:
bsinα kλ ,
k = ±1, ±2, … Это условие минимумов при дифракции света на одной щели.
279
3.Побочные минимумы соответствуют углам дифракции, в направлении которых каждая щель посылает свет, но в совокупности амплитуда колебаний равна нулю:
z = 1, 2, …, N – 1, N + 1, N + 2, …; N – полное число щелей решётки. Интенсивности волны, дифрагированной на решётке под углом φ,
|
|
sin |
2 |
πbsinφ |
sin |
2 |
πNdsinφ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I I |
|
|
|
λ |
|
|
|
λ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
πbsinφ |
2 |
|
|
|
πdsinφ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где I0 – интенсивность падающей волны. График зависимости I(φ) представлен на РИС. 35.7. Красной штриховой линией изображён график зависимости интенсивности света от угла дифракции φ при дифракции на одной щели (35.1)70.
I
главные максимумы
N – 1 побочных максимумов
главные минимумы
Рис. 35.7
Амплитуда напряжённости электрического поля в главных максимумах равна сумме амплитуд волн, излучаемых каждой щелью по отдельности,
а интенсивность света пропорциональная квадрату амплитуды колебаний:
I N2I1 ,
где I1 – интенсивность света от одной щели. Чем больше число щелей в решётке, тем больше интенсивности приходится на главные максимумы и меньше – на по-
70 График функции (35.1) на РИС. 35.7 изображён так, что он является огибающей графика функции (35.2) (при той же ширине b щели). На самом деле при одинаковой интенсивности I0 падающего света площади под обоими графиками должны пропорциональны суммарной площади щелей, так как дифракция приводит лишь к перераспределению энергии электромагнитного поля в пространстве, но не изменяет её суммарного значения.
280
бочные. В монохроматическом свете дифракционная картина выглядит следующим образом: яркие тонкие линии – главные максимумы на тёмном фоне.
Дифракционная решётка (наряду с ПРИЗМОЙ) служит основой спектральных приборов. Если осветить решётку немонохроматическим светом, то свет разлагается в спектр.
Демонстрация: Дифракционная решётка
4.2.4. Дифракция на круглом отверстии
Пусть точечный источник S излучает сферические монохроматические волны (длина волны λ). На расстоянии a от источника расположена ширма с круглым отверстием, а на расстоянии b от ширмы – экран, где наблюдается дифракционная картина (РИС. 35.8). Радиус кольца R << a, b.
Рис. 35.8
Дифракционная картина будет иметь форму светлых и тёмных концентрических колец. Разберёмся, что будет в центре картины – точке O – минимум или максимум интенсивности?
Разобъём волновой фронт в отверстии на зоны Френеля. Они будут иметь вид колец с центром в точке Oˊ – центре кольца (РИС. 35.9). Легко показать, что радиус m-ой зоны Френеля
Если отверстие открывает чётное число зон Френеля, то в точке O будет наблюдаться дифракционный минимум, если нечётное – то максимум. Из (35.3) следует, что площади всех зон Френеля одинаковы:
где n – число зон Френеля, открываемых отверстием. По принципу ГюйгенсаФренеля амплитуды колебаний, приходящих в точку O из всех зон Френеля, одинаковы:
Однако, с ростом порядкового номера m зоны Френеля увеличивается угол между нормалью к волновому фронту и направлением на точку O, поэтому E1 > E2 > … >En.
Можно считать, что Em Em 1 Em 1 .
2
281
Суммарная амплитуда колебаний в точке O при полностью открытом волновом фронте (при отсутствии ширмы)
E |
|
E |
|
E |
|
E |
|
E |
|
|
E |
|
|
E |
|
|
E |
|
E |
|
|
E |
|
|
E |
E |
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Σ |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
n |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
Мы доказали, что свет распространяется прямолинейно – в точку приходит свет из половины первой зоны Френеля.
Если закрыть все зоны Френеля, кроме первой, то амплитуда колебаний в точке O будет равна E1, а интенсивность света
где I0 – интенсивность света при полностью открытом волновом фронте.
Можно создать такую диафрагму, что будут открыты только нечётные или только чётные зоны Френеля (РИС. 35.9). Тогда
Ещё больше интенсивность света в центре экрана можно увеличить, если сдвигать по фазе излучение чётных зон Френеля так, чтобы оно совпадало по фазе с излучением нечётных зон, перекрыв волновой фронт прозрачной пластинкой переменной толщины (РИС. 35.10). (На рисунке n – показатель преломления вещества, из которого изготовлена пластинка.)
|
λ |
h |
|
O |
|
|
|
|
n |
|
|
Рис. 35.10 |
|
Демонстрация: |
Зонная пластинка |
4.2.5. Разрешающая способность оптических приборов
Разрешающая способность оптического прибора – способность давать раздельное изображение объектов, близко расположенных друг к другу.
Критерий Рэлея (ср. 4.1.4): изображение двух одинаковых точечных источников света ещё можно видеть раздельно, если центральный максимум дифракционной картины от одного источника совпадает с минимумом первого порядка дифракционной картины от второго источника.
Разрешающая способность телескопа
φ 1,22Dλ ,
