Файл: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.03.2025

Просмотров: 3981

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

299

Важнейшие операторы физических величин

1.Оператор координаты

xψ x,

x x ; y,z xψ x,

y,z

73.

2.Оператор импульса

px i x ,

здесь i – мнимая единица.

3.Оператор момента импульса

p

y

i

p i

Lr

y

,

p

;

, pz i z ;

i

L

x

i

x

L

i

y

z

z

y

x

j

y

i

y

i

z

k

z

i

z

y

y

z

;

 

и т. д.

4.Оператор кинетической энергии

2

1

x

y

z

2

2

T

p

2

2

2

2

2m

2m

p

p

p

2m

2m

здесь

2

– оператор Лапласа, m – масса частицы.

5.Оператор полной энергии – гамильтониан

,

H T U x, y,z,t ,

U x, y,z,t – силовая функция – описывает действие других объектов на частицу.

5.4.3. Возможность одновременного измерения двух величин

Пусть имеются два оператора A и B . Коммутатор операторов A и B

A,B AB BA.

Операторы A и B коммутируют, если

A,B 0 ,

т. е. AB BA.

73 Волновую функцию, зависящую от времени, мы обозначаем Ψ, а её стационарную часть (см. 5.4.5), не зависящую явно от времени, – ψ = ψ(x, y, z).

300

Если операторы не коммутируют, т. е.

A,B

0

, то величины a и b одновременно

не измеримы. (Для этих величин можно записать соотношение неопределённостей.)

ПРИМЕРЫ

1) Измеримы ли одновременно координата и соответствующая проекция импульса?

Найдём коммутатор операторов x

и p

x

; для простоты воздействуем этими опера-

торами на функцию Ψ:

x

x

p ψ

x

i

ψ

i

x

x

ψx

;

x

i

p

xψ

x

x

xp

p x

ψ

x

i

xψ ψ

i

ψ i

xp p x

x

x

xψx

i

;

0

.

Координата и соответствующая проекция импульса одновременно не измеримы, что подтверждается соотношениями неопределённостей (37.4).

2) Измеримы ли одновременно py и x?

Действуем аналогично тому, как В ПРЕДЫДУЩЕМ ПРИМЕРЕ:

x

y

p ψ

x

p

y

i

ψ

x

yψ i y

x

0

p

, y

i

ψ

;

x

.

y

ψx

;

Координата y и проекция импульса на ось x одновременно измеримы.

Дополнительное задание

Lx ,Ly 0

Доказать, что проекции момента импульса не коммутируют:

, а также

что каждая из проекций момента импульса коммутирует с квадратом момента

2

0 .

импульса: Lx ,L

5.4.4. Квантование физических величин

Если физическая величина принимает дискретный ряд значений, т. е. собственные значения соответствующего оператора дискретны, то говорят, что данная величина квантуется.

ПРИМЕР

Квантование момента импульса

Уравнение для собственных значений оператора квадрата момента импульса

L2ψ L2ψ.

301

Решение этого уравнение трудное, поэтому приведём только результат ственные значения оператора квадрата момента импульса

L

l l 1

2

2

,

l = 0, 1, 2, …

- соб-

(38.1)

Уравнение для собственных значений оператора проекции момента импульса

Lzψ

Lzψ

.

Это уравнение мы решим – найдём собственные значения и собственные функции. В сферических координатах оператор проекции момента импульса записывается как

Lz i

.

φ

Уравнение для собственных функций и собственных значений

i

ψ

Lzψ .

φ

Будем искать решение этого уравнения в форме

(38.2)

Подставим эту функцию в уравнение

i

αe

αφ

Отсюда

α

L

z

i

ψ e

αφ

.

(38.2):

Lze

αφ

Lz

iL

,

ψ

z

i

iL

z

e

φ

α .

.

Функция ψ должна быть однозначной. Для этого необходимо

ψ φ 2π ψ φ

m – целое; Lz m

,

Lz

m

,

(38.3)

m = 0, ±1, ±2, … Так как проекция вектора не может быть больше его модуля,

m

2l l 1

m = 0, ±1, ±2, …, ±l.

5.4.5. Уравнение Шрёдингера

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики:

2

ΔΨ UΨ i

Ψ

(38.4)

2m

t

или

HΨ i

Ψ

t

– временнόе уравнение Шрёдингера.

Уравнение Шрёдингера не выводится из других соотношений, оно постулируется.

302

Если силовое поле стационарно – U ≠ U(t), то решение уравнения Шрёдингера разделяется на два множителя:

Ψ x, y,z,t ψ x, y,z e

i

W

t

,

(38.5)

где W – полная энергия частицы. Подставим (38.5) в уравнение Шрёдингера

(38.4):

2

i

W

t

e

2m

ψ U x, y,z ψe

i

W

t

i

Hψ Wψ

iW

i

W

t

,

ψ

e

(38.6)

– уравнение Шрёдингера для стационарных состояний (стационарное уравнение Шрёдингера).

Это уравнение мы будем чаще писать в другом виде:

ψ

2m

W

2

U ψ 0

.

(38.7)

5.5. Некоторые квантовомеханические задачи

5.5.1. Свободная частица с энергией W

Рассмотрим одномерное движение. Лапласиан имеет вид

ция U = 0. Уравнение Шрёдингера:

2

ψ

2m

d

Wψ 0 .

dx

2

2

Будем искать решение в виде ψ = Aeikx, где k – неизвестная ные волновой функции

dψ

2

ψ

2

ikx

d

ikx

2

ikAe

ikψ

,

ik

Ae

ψ

dx

dx

2

k

Подставим эти производные в уравнение (38.8):

2

ψ

2m

Wψ 0

;

k

2

k

2

2mW

k

2mW

;

2

d

2

; силовая функ-

dx

2

(38.8)

константа. Производ-

.

ψ Ae

i

2mW

x

,

A – постоянная нормировки. Полная волновая функция

Ψ x,t Ae

i

Wt

x

.

2mW

Действительная часть этой функции

Re Ψ x,t

Acos Wt

x

2mW

– уравнение бегущей волны. Вероятность обнаружения частицы

Смотрите также файлы