Файл: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.03.2025

Просмотров: 3973

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

303

Ψ

2

A

везде одинакова.

5.5.2. Частица в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины

Потенциальная яма – область простран-

U

ства, в которой находится минимум по-

тенциальной энергии частицы. В данной

задаче

рассматривается

потенциальная

яма бесконечной глубины,

т. е. в области

I

длиной

l потенциальная

энергия мини-

UI → ∞

мальна (равна нулю), а во всём остальном

пространстве она стремится к бесконеч-

ности. График потенциальной энергии

0

приведён на РИС. 38.1.

В областях I и III, где потенциальная энергия бесконечно велика, вероятность обнаружения частицы должна быть равна нулю, т. е.

ψ 0,

I

ψ

0.

III

Уравнение Шрёдингера для области II

2

ψ

2m

d

Wψ

0 .

II

dx

2

2

II

Введём обозначение

k

2

2m

W

,

2

тогда уравнение (38.9) примет вид

II

III

UII = 0

UIII → ∞

l x

Рис. 38.1

(38.9)

2

ψ

d

II

dx

2

Решение этого уравнения

ψ

x

II

k

ψ

2

II

Acos kx

0

.

φ

.

Постоянные A и φ найдём из свойств волновой функции. Волновая функция должна быть непрерывна во всём пространстве, в том числе на стенках ямы:

ψ

0 0,

Acosφ 0 φ π

II

2

l 0

ψ

φ 0

II

Acos kl

k πn , n = 1, 2, …

l

Поэтому

ψII

πn

Asin

l

x .

Энергия частицы

,

sinkl 0;

304

2

k

2

W

2m

π2n2 l2

2 2m

, n = 1, 2, …

Видно, что энергия частицы имеет дискретный ряд значений, т. е. квантуется.

Условие нормировки:

l

x

ψ

II

2

0

Итак,

Графики функций (38.10) и

ψII

l

πn

2

2

sin

2

x

dx 1

A

.

dx A

l

l

0

ψ

2

sin

πn

x

,

(38.10)

II

l

l

ψII

2

2

sin

2 πn

(38.11)

l

l

x .

(38.11) для n = 1 и 2 представлены на РИС. 38.2А, Б. n = 1

n = 1

n = 2

0

l x

n =2

0

l

x

а

б

Рис. 38.2

Интервал энергий между соседними уровнями

π

2

2

2

π

2

2

2n 1

W

n

n 1

2

2ml

2

2ml

2

при достаточно больших n.

Энергетическая диаграмма частицы в бесконечной потенциальной яме изображена на РИС. 38.3.

π2 2

ml2 n

W

n = 2

n = 1

0

l

x

Рис. 38.3

305

Лекция 39

5.5.3. Потенциальный барьер. Туннельный эффект

Потенциальный барьер – область пространства, в которой находится максимум потенциальной энергии частицы. Рассмотрим потенциальный барьер прямоугольной формы, шириной l и высотой U0 (РИС. 39.1).

U

U

U0

U0

I

II

III

I

II

UI = 0

UII = U0

UIII = 0

UI = 0

UII = U0

0

l

x

0

x

Рис. 39.1

Рис. 39.2

Рассмотрим сначала бесконечный барьер (l → ∞), см. РИС. 39.2:

U

I

0,

U

.

U

II

0

Пусть на него налетает (из области I) частица массы m с энергией W < U0. Запишем стационарное уравнение Шрёдингера в виде (38.7). (Задача одномерная, поэтому

d

2

.)

dx

2

Область I

d2ψ

2m

Wψ 0.

I

dx2

2

I

Обозначим

k2 2m2 W .

Область II

d2ψII 2m W U0 ψII 0 .

dx2 2

Обозначим

α2 2m2 U0 W .

Получим систему дифференциальных уравнений

ψ k2ψ 0,

I

I

ψ α2ψ 0.

II

II

Ищем решение каждого из этих уравнений в общем виде ψ = eλx. Тогда ψˊ = λeλx,

ψˊˊ = λ2eλx;

2

λ x

2 λ x

0,

λ e

I

k e

I

I

2

λ

x

2

λ x

0;

λ e

II

α e

II

II

2

k

2

0,

λ ik,

λ

I

I

2

α

2

0;

λ

α;

λ

II

II

ψ A eikx B e ikx

,

I

1

1

(39.1)

ψ A eαx B e αx .

II

2

2

Здесь i – мнимая единица, A1, B1, A2, B2 – постоянные.

306

Коэффициент A1 характеризует набегающую волну (налетающую частицу), B1 – отражённую волну (отлетающую от барьера частицу), A2 и B2 характеризуют вероятность нахождения частицы внутри барьера. Так как эта вероятность не может расти при погружении вглубь барьера, A2 = 0.

Найдём коэффициенты A2 и B1. Условие непрерывности волновой функции на границе барьера:

ψI 0 ψII 0 A1 B1 B2 .

(39.2)

Условие непрерывности производных волновой функции:

ψ 0 ψ 0

I II

ikA1 ikB1

αB2

.

(39.3)

Из (39.2) и (39.3) получим

B

2ik

A .

(39.4)

ik α

2

1

Вероятность нахождения частицы в точке с координатой x = 0 определяется вы-

ражением

ψI 0

2

2

.Вероятность (плотность вероятности) нахождения частицы

~ A1

внутри барьера на расстоянии x от его границы

ψ

x

2

B

e

αx

II

2

~e

2

2αx

.

Теперь «обрежем» барьер на ширине x = l. Прозрачность (коэффициент прозрачности) барьера – вероятность прохождения барьера частицей:

ψ

l

D

II

2

.

ψ

0

2

I

Подставим сюда функции (39.1). С учётом (39.4) получим

B

2

e

2αl

2ik

2

2αl

4k

2

2αl

4W

D

e

e

2

2

ik α

k

2

α

2

U

A

1

4W 1. Тогда D ≈ e–2αl,

0

В большинстве реальных задач

U0

e

2αl

.

D e

2

2m U

W l

0

.

Мы доказали, что даже имея энергию, меньшую, чем высота потенциального барьера, частица может преодолеть этот барьер. В этот состоит туннельный эф-

фект.

Численная оценка

Если U0 – W = 5 эВ, то при l = 1

Å

D = 1∙10–1;

l = 2

Å

D = 8∙10–5;

l = 5

Å

D = 5∙10–7.

Туннельный эффект широко применяется в технике. Большой ток при холодной эмиссии электронов объясняется в т. ч. туннельным эффектом.

307

5.5.4. Гармонический осциллятор

Гармонический осциллятор – частица, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы Fx = –kx. При этом потенциальная энергия силового поля

U

kx

2

.

2

График U(x) представлен на РИС. 39.3. Собственная частота осциллятора

2

2

U

mω x

.

2

Стационарное уравнение Шрёдингера:

ω

k

m

;

2

ψ

2m

d

dx

2

2

W

2

2

mω x

2

ψ

0

,

здесь W – полная энергия осциллятора. Это уравнение имеет точное аналитическое решение. Собственные функции слишком сложны, чтобы их здесь приводить.

Собственные значения энергии гармонического осциллятора

1

ω , n 0,1,2,

Wn n

2

Энергия гармонического осциллятора квантуется, Уровни энергии эквидистантны, т. е. отстоят друг от друга на одинаковую величину

W ω hν .

Минимально возможная энергия гармонического ос-

циллятора – нулевая энергия

W

ω

.

0

2

Таким образом, доказана гипотеза Планка о том, что осциллятор излучает порциями – квантами.

5.6. Атом водорода

5.6.1. Модель атома Резерфорда-Бора

U

W2

W1

W0

0 x

Рис. 39.3

Атом состоит из положительно заряженного ядра, окружённого облаком электронов74. (С классической точки зрения это невозможно – электрон упал бы на ядро!)

Для атома водорода (РИС. 39.4) масса протона mp намного больше массы электрона me:

mp

1836me

,

поэтому ядро можно считать неподвижным.

74 По полуклассической теории Бора электроны вращаются вокруг ядра по орбитам. По квантовомеханическим представлениям же об орбитах говорить бессмысленно.

Смотрите также файлы