Потенциал электростатического поля ядра
где Z – заряд ядра (число протонов в ядре), r – расстояние от ядра до электрона. Потенциальная энергия электрона в этом поле
График зависимости U (r) представлен на РИС. 39.5.
Для атома водорода Z = 1. При Z ≠ 1 система, состоящая из ядра и одного электро-
на, – водородоподобный ион.
5.6.2. Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний и его решение
Стационарное уравнение Шрёдингера
где m – масса электрона (данное обозначение используется в этом и следующем разделах).
Так как поле – центральное, перейдём к сферической системе координат. Стационарное уравнение Шрёдингера запишется в виде
1 |
2 |
ψ |
|
|
|
1 |
ψ |
|
|
|
1 2ψ |
|
2m |
Ze2 |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
sinθ |
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
ψ 0 . (39.5) |
r |
2 |
|
|
r |
2 |
|
|
r |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
r |
|
r |
|
|
sinθ θ |
θ |
|
|
sinθ φ |
|
|
|
4πε0r |
|
Предположим, что существует такое симметричное состояние, в котором ψ = ψ1(r), с энергией W1. Тогда
|
2m |
|
Ze |
2 |
|
|
|
W |
|
ψ |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
4πε r |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
r
Будем искать решение этого уравнения в виде ψ1 Ce r0 . Производные этой функции
309
dψ |
|
C |
|
|
r |
|
ψ |
|
2 |
ψ |
|
C |
|
|
r |
|
e |
r |
|
, |
d |
|
e |
r |
1 |
|
|
0 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
dr |
|
r |
|
|
|
|
r |
|
dr |
2 |
|
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Подставим эти выражения в уравнение (39.6):
|
|
ψ |
|
2 ψ |
|
|
2m |
W |
|
Ze |
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
2 |
|
r |
r |
|
|
|
|
1 |
|
4πε r |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ψ1 ≠ 0). Домножив это уравнение на |
2m |
|
, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
W |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
Ze |
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
Ze |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
2mr02 |
|
2mr0r |
|
4πε0r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
r |
mr0 |
|
4πε0 |
Это равенство должно выполняться при любых r, в правая часть этого равенства стремится к нулю, а, должна быть также равна нулю:
т. ч. при r → ∞. В таком случае следовательно, и левая часть
При r ≠ 0 должны выполняться равенства
|
2 |
|
|
W 0, |
|
|
|
|
|
|
2 |
2mr |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
Ze |
2 |
|
|
|
|
0. |
|
|
|
mr |
|
4πε |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
Из этой системы уравнений получим
|
2 |
|
m |
|
Ze |
2 |
2 |
|
r |
4πε0 |
, W |
|
|
|
. |
|
|
|
|
0 |
Ze2m |
1 |
2 2 |
|
4πε0 |
|
Численное значение
При Z = 1 W1 = 13,6 эВ; r0 = 0,529 Å – 1-ый боровский радиус.
Вероятность обнаружения электрона в тонком сферическом слое радиуса r и толщиной dr
|
|
|
|
|
|
|
2r |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
dP ψ1 |
4πr dr C e |
|
0 |
4πr dr ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2r |
|
|
|
|
|
|
|
dP |
C2 4πr2e r0 . |
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
График |
этой |
|
функции |
|
изображён на |
|
|
|
|
РИС. 39.6. Максимум плотности вероятности |
|
|
|
|
обнаружения электрона имеет место при |
0 |
r0 |
r |
|
r = r0 (доказать самостоятельно). |
|
|
|
|
|
Общее |
решение уравнения |
|
Шрёдингера |
|
|
Рис..39..76 |
|
|
|
|
|
(39.5) можно представить в виде
ψ r,θ,φ R r Θ θ Φ φ .
310
Подставив эту функцию в уравнение (39.5), получим три уравнения, имеющих аналитические решения, которые достаточно сложны75.
75 Заметим, что в состоянии ψ1 азимутальное квантовое число l = 0 (см. РАЗДЕЛ 5.6.4), т. е. электрон не вращается.
311
Лекция 40
5.6.3. Энергетический спектр атома водорода
При W > 0 (электрон свободный) энергия электрона может принимать любые значения.
При W < 0 (когда электрон входит в состав атома) энергия электрона квантована:
W |
m |
|
Ze |
2 |
2 |
1 |
, n 1,2, |
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 2 |
|
4πε0 |
|
n2 |
|
(n ≠ 0!), n – главное квантовое число.
Энергетический спектр атома водорода дискретный. Дискретные значения энергии электрона показаны на графике потенциальной энергии (РИС. 40.1).
U
0
W3
W2
W1
Рис. 40.1
Основное состояние: n = 1.
При переходе системы из одного стационарного состояния в другое (при n1 > n2) должен выполняться закон сохранения энергии:
где ħω – энергия фотона, излучаемого при переходе электрона из состояния с n1 в состояние с n2;
ω |
m |
|
Ze |
2 |
2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
4πε0 |
n1 |
|
n2 |
|
При переходе на более высокий энергетический уровень (при n2 > n1) происходит поглощение энергии.
Постоянная Ридберга
R* = 2,07∙1016 с–1.
