Файл: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.03.2025

Просмотров: 3919

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

30

d

2

x

F

m

2

,

dt

x

d

y

2

F

m

,

dt

2

y

d

z

2

F .

m

2

dt

z

1.4.4. Центр масс механической системы

Внешние силы – силы, описывающие действие объектов, не входящих в данную

механическую систему, на тела, входящие в неё. Будем обозначать такие силы

F

e

13.

Внутренние силы – силы, описывающие взаимодействие тел, входящих в данную

механическую систему (обозначение F

i

).

Для любой механической системы из III закона Ньютона следует, что сумма внут-

ренних сил равна нулю:

F

i

0

.

Рассмотрим механическую систему из N материальных точек.

 m1

Центр масс механической системы –

точка,

для которой

C

N

m ρ 0

N

или

m r r

0

,

i i

i i

C

 mi

i 1

i 1

 m2

где mi

– масса i-ой материальной точ-

mN

ки, ρ

– радиус-вектор, соединяющий

i

центр масс с i-ой материальной точ-

кой, ri

– радиус-вектор i-ой матери-

O

альной точки, rC – радиус-вектор цен-

Рис. 3.4

тра масс. (На РИС. 3.4 точка C – центр

масс, O – начало отсчёта.)

Как найти положение центра масс системы? Из определения центра масс следует

N

где M mi

i 1

N

N

N

m r

r r

i i

,

m r

m

i 1

i i

i

C

C

M

i 1

i 1

– масса механической системы. В декартовой системе координат

N

N

N

m x

i

m y

i

m z

i

i

i

i

x

i 1

, y

i 1

, z

i 1

.

(3.1)

C

C

C

M

M

M

13 В «живой» лекции лучше использовать обозначения русскими буквами: Fвнеш и т. п.

31

Если тело (механическая система) центральносимметрично, то его центр масс совпадает с центром симметрии. Если же тело осесимметрично, то центр масс лежит на оси симметрии.

ПРИМЕР

Нахождение центра масс системы двух материальных точек

Две материальные точки массами m1 и m2 находятся на расстоянии l друг от друга (РИС. 3.5). Где находится центр масс системы?

m1

C

m2

O 

xС

l

Рис. 3.5

та с материальной точкой массы формулы (3.1) получим

x

C

Центр масс C системы, очевидно, должен находиться на прямой между материаль-

xными точками. Радиусы-векторы, соединяющие центр масс и материальные точки, показаны на РИС. 3.5. Введём ось x, как пока-

зано на рисунке, и совместим начало отсчё- m1; тогда координата точки массой m2 равна l. Из

m x

m x

m l

.

1

1

2

2

2

m m

m m

1

2

1

2

Теорема о движении центра масс: центр масс механической системы движется как материальная точка с массой, равной массе системы, к которой приложена сила, равная равнодействующей внешних сил, приложенных к системе,

MaC Fe .

Доказательство

Рассмотрим механическую систему, состоящую из N материальных точек. Дифференциальное уравнение движения i-ой точки

m

d2r

F

e

N

i

i

F ki

i

dt

2

i

k 1, k i

,

(3.2)

где

Fi

e

– равнодействующая внешних сил, приложенных к i-ой точке;

ренняя сила, с которой k-я точка действует на i-ую точку. Просуммируем равенства (3.2) по всем N точкам системы:

N

2

N

N N

F ki .

m d

ri F

e

i

i 1

i dt2

i 1

i

i 1 k 1, k i

0

i F ki

–внут-

(3.3)

Второе слагаемое в правой части этого равенства равно нулю, так как оно равно сумме всех внутренних сил, описывающих взаимодействие тел, входящих в рас-

сматриваемую систему. Первое слагаемое есть главный вектор внешних сил Преобразуем левую часть равенства (3.3), учитывая, что ri rC ρi (РИС. 3.4):

N

2

rC

N

2

m

d

m d

ρi

Fe ,

i 1

i dt2

i 1

i

dt2

2

rC

N

d

2

N

d

m

m ρ Fe .

dt2

i 1

i

dt2

i 1

i i

F

e

.

32

2

r

Но

d

C

dt

2

как точка

aC

C

N

–ускорение центра масс, mi

i1

–центр масс системы. Поэтому MaCM

– масса системы, а

F

e

, ч. т. д.

N mi ρi

i 1

0

, так

1.4.5. Некоторые силы14

1. Гравитационная сила

Сила, описывающая гравитационное воздействие материальной точки15 массой m1 на материальную точку массы m2, находящуюся на расстоянии r от точки мас-

сой m1 (РИС. 3.6):

F12

G

m m

r12

1

2

r

3

2

– закон всемирного тяготения; G 6,67

10

11 Н м

кг

2

янная. Знак «–» означает, что тела притягиваются.

(3.4)

– гравитационная посто-

O

R

M

m

m1

 m2

Рис. 3.6

Рис. 3.7

ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ

Сила тяжести – гравитационная сила вблизи поверхности Земли

F mg

.

т

Действительно, пусть материальная точка массы m находится вблизи поверхности Земли, т. е. на расстоянии от центра Земли, равном радиусу R Земли (РИС. 3.7). По закону всемирного тяготения (3.4)

F

F

G mM r

,

g

т

R3

здесь M – масса Земли. Модуль этой силы

F G

M

m

mg ,

2

т

R

где

g G

M

9,81

м

16

– ускорение свободного падения (вернее, модуль этого

R2

с2

ускорения). По II закону Ньютона

14В данном разделе рассматриваются силы, фигурирующие в задачах I семестра.

15В этом определении можно заменить слова «материальная точка» на «тело» с поправкой, что r – это расстояние между центрами масс тел.

16При необходимости проведения вычислений с достаточно высокой точностью следует учиты-

вать, что ускорение свободного падения зависит от географической широты. На широте

Москвы g = 9,8156 м/с2.

33

вектор

g

ma mg,

направлен к центру Земли. Центры масс всех тел, падающих свободно

(т. е. без каких-либо внешних воздействий, кроме гравитационного) вблизи по-

верхности Земли, движутся с ускорением

2. Сила упругости

g

.

Упругая деформация – деформация тела, которая полностью исчезает после прекращения взаимодействия, являющегося её причиной. Воздействие деформированного тела на тело, вызвавшее деформацию, описывается силой упругости.

Закон Гука (в случае линейной деформации):

Fупр k l ,

где l – вектор деформации (РИС. 3.8А), k – коэффициент упругости (жёст-

кость) деформируемого тела. Знак «–» означает, что деформированное тело сопротивляется деформации – пытается восстановить форму.

На РИС. 3.8 представлены разные типы деформируемых тел: А) пружина, Б) нить

(сила натяжения

T

) и В) опорная поверхность (сила реакции опоры

N

).

k

m

0

m

m

а

б

в

Рис. 3.8

(На РИС. 3.8 m – масса груза, 0 – положение недеформированной пружины.)

Сила реакции опоры всегда направлена перпендикулярно опорной поверхности от неё, а сила натяжения – вдоль натянутой нити от натягивающего её тела.

Вес тела – сила, описывающая действие тела на опору или подвес; по модулю ра-

вен силе упругости (по III закону Ньютона

P T

или

P

N

).

Природа упругости – в межмолекулярном, т. е. электромагнитном взаимодействии (см. РАЗДЕЛ 0.3), однако, при изучении механики это для нас не имеет значения.

Демонстрация: Динамометры

3. Сила сухого трения

Сила трения – составляющая силы взаимодействия соприкасающихся тел, параллельная поверхности их контакта (РИС. 3.9А). Наличие этой составляющей обу-

словлено неупругими деформациями тел.

Мы рассматриваем сухое трение, т. е. обе соприкасающиеся поверхности являются твёрдыми (в смысле агрегатного состояния; вязкое трение рассматривается в

РАЗДЕЛЕ 2.9.2).

Закон сухого трения (закон Кулона):

где Fтр max

34

F

μN

тр max

,

– максимальное значение модуля силы трения – сила трения скольжения, N – модуль силы реакции опоры, µ – коэффициент трения – безразмерная величина, зависящая от материала и состояния соприкасающихся поверхностей. Направлена же сила трения скольжения всегда против скорости тела относительно опорной поверхности.

Fтр

µN

m

0

µN

F

а

б

Рис. 3.9

График зависимости модуля силы трения от модуля силы

F

представлен на

РИС. 3.9Б. До тех пор пока F < µN, тело покоится относительно опорной поверхности, а F = Fтр (наклонный участок на графике). При F ≥ µN тело начинает скользить

и Fтр = Fтр max = µN.

Демонстрация: Сила трения Трение также имеет электромагнитную природу.

1.4.6. Кинематические связи

Кинематическая связь – ограничение, накладываемое на движение тела.

1. Координатная связь

Координатная связь – ограничение, накладываемое на координаты точек и их производные при движении тела.

ПРИМЕР

Тело скользит по горизонтальному рельсу.

Перемещение, скорость и ускорение тела должны быть направлены вдоль рельса (РИС. 3.10):

r xi ;

y,z 0 ;

v vx i ;

vy ,vz 0

;

a ax i ; ay ,az 0.

2. Нить

x

Рис. 3.10

При решении многих задач нити полагаются невесомыми и нерастяжимыми.

а) Невесомая нить

Во всех точках нити модуль силы натяжения одинаков:

T const .

Смотрите также файлы