ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.03.2025
Просмотров: 3930
Скачиваний: 2
35 |
|||
Доказательство |
|||
Рассмотрим участок натянутой нити 1-2 |
m = 0 |
||
(РИС. 3.11). По условию невесомости масса этого |
|||
1 |
2 |
||
участка m = 0. Участки нити, находящиеся по обе |
|||
стороны от данного участка, действуют на него с |
Рис. 3.11 |
|
силами T1 и T2 . |
||
Применим к этому участку нити теорему о движении центра масс:
ma T1 T2 |
T2 T1 |
0
б) Нерастяжимая нить
Модуль скорости всех точек нити одинаков: v const .
T1
T2
, ч. т. д
Доказательство |
||
Будем отсчитывать координаты точек |
||
нити по её длине от некоторой точки |
2 |
|
(например, одного из концов нити). Рас- |
||
смотрим участок нити 1-2 (РИС. 3.12). Ко- |
||
ордината точки 1 равна l1, координата |
||
точки 2 соответственно равна l2 По усло- |
1 |
|
вию нерастяжимости длина этого участ- |
||
ка должна оставаться постоянной: |
||
l = l2 – l1 = const. |
Модули скоростей точек
v1 |
dl |
, v2 |
||
1 |
||||
dt |
1 и 2 |
Рис. 3.12 |
|
dl |
; |
|
2 |
||
dt |
||
v v dl2 |
dl1 |
d l2 l1 |
0 |
v v , ч. т. д. |
|||||
2 |
1 |
dt |
dt |
dt |
2 |
1 |
|||
0
Из этого следует, что равны и тангенциальные ускорения всех точек нити:
aτ2
aτ1
.
1.4.7. План решения задач по динамике17
1.Выбор объекта исследования и его модели: материальная точка, твёрдое тело, механическая система (указать, какие тела в неё входят)
2.Выбор системы отсчёта (в большинстве случаев – лабораторная)
3.Рисунок (или несколько рисунков)
4.Определение воздействующих объектов. Расстановка обозначений на рисунке:
сил, ускорений и т. д.
5.Запись II закона Ньютона (теоремы о движении центра масс) в векторной форме
17 Аналогичный план подходит и для решения задач по динамике вращательного движения, в т. ч. с использованием законов сохранения. Различия – в законе, на котором основано решение задачи. Подробное обсуждение этого плана и обучение решению задач проводится на практических занятиях.
Пример решения задачи по динамике рассматривается на СЛЕДУЮЩЕЙ ЛЕКЦИИ.
36
6.Выбор системы координат (можно вводить разные системы координат для разных тел)
7.Запись закона в проекциях на оси системы координат
8.Подсчёт числа уравнений и числа неизвестных. Запись дополнительных уравнений (другие законы, уравнения связей и т. п.)
9.Решение полученной системы уравнений в общем виде
10.Анализ результата и проверка размерностей18
11.Численный расчёт и оценка его результата
1.4.8. Импульс. Другая форма II закона Ньютона
Преобразуем выражение II закона Ньютона:
ma F |
|
a |
dv |
dt |
|
m |
dv |
F |
|
dt |
|||
,
d mv |
F |
(3.5) |
|
dt |
|||
– II закон Ньютона в дифференциальной форме.
В этом выражении под знаком дифференциала стоит векторная физическая величина, характеризующая инертность и движение тела – импульс материальной
точки
p mv |
; |
|||||||
p |
кг м |
. |
||||||
с |
||||||||
Из (3.5) получим |
||||||||
, |
||||||||
d |
mv |
Fdt |
||||||
Fdt – импульс силы. II закон Ньютона можно сформулировать так: изменение импульса тела равно импульсу силы.
По определению, импульс механической системы равен сумме импульсов тел (материальных точек), входящих в эту систему:
P pi .
Импульс механической системы равен произведению массы M системы на скорость vC её центра масс:
P MvC .
Доказательство
Исходя из определения импульса механической системы,
P pi mi vi mi drdti dtd mi ri
18 Рекомендуется контролировать размерности в течение всего решения задачи.
37
(см. РИС. 3.4)19,
vi
– скорость i-ой материальной точки. В обозначениях этого ри-
сунка ri rC ρi |
. Поэтому |
0, т. к. точка C – центр масс |
||||
P |
d |
mi rC mi ρi mi |
dr |
Mv , ч. т. д. |
||
C |
||||||
dt |
dt |
|||||
Преобразуем выражение теоремы о движении центра масс:
Ma Fe M |
dvC |
Fe |
d Mv |
Fe |
|||||||||||
C |
, |
||||||||||||||
C |
dt |
dt |
|||||||||||||
dP |
Fe |
. |
|||||||||||||
dt |
|||||||||||||||
Если система замкнута, то |
F |
e |
0 |
и |
|||||||||||
dP |
0 |
P const |
|||||||||||||
dt |
|||||||||||||||
– закон сохранения импульса механической системы: импульс замкнутой си-
стемы остаётся неизменным с течением времени.
На самом деле закон сохранения импульса не выводится, а следует из свойств пространства-времени (см. РАЗДЕЛ 1.1.2).
Более подробно закон сохранения импульса будет рассмотрен в ПАРАГРАФЕ 1.6.
19 Разумеется, в «живой» лекции этот рисунок нужно сделать заново.
38
Лекция 4
1.5. Динамика вращательного движения твёрдого тела
1.5.1. Момент силы
Момент силы20 – векторная (псевдовекторная) величина, характеризующая взаимодействие тел.
1. Момент силы относительно точки
Момент силы относительно точки:
M rF |
; |
||
точка, относительно которой определяется
момент – полюс; |
||||
M rF sin |
r,F |
; |
||
M Н м. |
||||
На РИС. 4.1: O – полюс, A – точка приложения
A
O
Рис. 4.1
силы;
r
и
F
лежат в плоскости рисунка,
M
перпендикулярен плоскости рисунка.
2. Момент силы относительно оси
Момент силы относительно оси:
M rF |
k |
, |
(4.1) |
|
z |
||||
вектор21 момента силы относительно оси всегда направлен вдоль этой оси; направление определяется по правилу правого винта.
Один из способов определения момента произвольно направленной силы относительно оси показан на РИС. 4.2. На этом рисунке изображено трехмерное твёрдое тело и вектора и линии, лежащие в трехмерном пространстве. Здесь z – ось, отно-
сительно которой рассчитывается момент силы; k – орт этой оси; A – точка при-
ложения силы F ; плоскость xy – плоскость, проведённая через точку A перпендикулярно оси z; O – точка пересечения плоскости xy с осью z, т. е. ближайшая к точ-
ке приложения силы точка на оси; радиус-вектор r восстановлен из точки O в
точку
M rF
приложения |
||||
sin |
r,F xy |
. |
||
силы;
F xy
– проекция вектора силы на плоскость xy;
Можно пользоваться не этим способом, а напрямую определением (4.1). Тогда r – это радиус-вектор, проведённый из любой точки на оси в точку приложения силы.
20Следует обратить внимание студентов на то, что момент силы, а также момент инерции и момент импульса всегда определяется относительно какой-либо точки или оси.
21В большинстве курсов общей физики момент силы, момент импульса относительно оси, а также кинематические величины, характеризующие вращение вокруг неподвижной оси, вводятся как
скалярные алгебраические величины. В нашем же курсе это аксиальные векторы.
39
z
D
h
O A
xy
Рис. 4.2
Плечо силы – это скалярная величина – кратчайшее расстояние от оси до линии
действия силы (отрезок OD = h на РИС. 4.2); |
||||
xy |
||||
h r sin |
r,F xy |
, M hF . |
||
Если линия действия силы
F
лежит в плоскости, перпендикулярной оси z (т. е.
F
F xy
), то получим соотношение, известное из школьного курса физики: M = hF.
1.5.2. Основное уравнение динамики вращательного движения
Пусть твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси z
(с угловой скоростью ω , угловым ускорением ε ). Разобьём тело на элементарные (малые) фрагменты массами mi (рис. 4.3); расстояние каждого фрагмента от оси вращения равно ri. Запишем II закон Ньютона для i-го фрагмента:
e |
i |
|||
mi ai Fi |
Fki . |
(4.2) |
||
k i |
||||
Здесь ai |
– ускорение i-го фрагмента; Fi |
e |
– главный вектор |
|
внешних сил, с которыми другие тела действуют на i-ый
i фрагмент; F ki – внутренняя сила, описывающая действие
k-го фрагмента на i-ый фрагмент.
z
Oi mi
Рис. 4.3
Умножим равенство (4.2) на
ri mi
слева векторно:
r a r F |
r Fki |
||||||||
e |
i |
||||||||
i i |
i |
i |
i |
||||||
k i |
|||||||||
.
(4.3)
В правой части этого уравнения |
ri Fi |
e |
||
сил, приложенных к i-ому фрагменту;
Mi |
e |
– главный вектор момента внешних |
|||
i |
i |
– сумма моментов внут- |
|||
r Fki |
Mki |
||||
i |
k i |
||||
k i |
|||||
ренних сил, приложенных к нему же.