Файл: lektsii_sopromat_11-17.pdf

В системе четыре замкнутых контуров, восемь шарниров кратностью равной единице, и шарнир № 9, который имеет кратность kш(9) 2 .

Степень статической неопределимости равна n = 3*4 – 8 – 2 = 2. Пример 2. Определить степень статической неопределимости

В системе четыре замкнутых контуров, четыре простых шарниров с кратностью равной единице, и шарнир № 5, который имеет кратность kш(9) 2 . Степень статической неопределимости равна n = 3*4 – 4 – 2 = 6.

Пример 3. Определить степень статической неопределимости

В системе четыре замкнутых контуров, три простых шарниров с кратностью равной единице, шарнир № 4, который имеет кратность kш(9) 2 и шарнир №5, который имеет кратность kш(5) 3.

Степень статической неопределимости равна n = 3*4 – 3 – 2 - 3= 4.

Метод сил. Канонические уравнения метода сил

Наиболее распространѐнным методом раскрытия статически неопределимых систем является метод сил. Он заключается в том, что система освобождается от лишних связей и их действие заменяется лишними неизвестными Xk k = 1, 2,…n, которые принимаются за основные неизвестные задачи. Стержневая система, получаемая из заданной путѐм отбрасывания лишних связей и внешней нагрузки, называется основной.

Основная система должна удовлетворять следующим условиям.

1.основная система должна быть статически определима.

2.основная система должна быть геометрически неизменяема.

3. основная система должна быть мгновенно неизменяема, то есть не допускается бесконечно малые перемещения под действием нагрузки.

Основных систем может быть несколько. Основная система с приложенными лишними неизвестными и внешней нагрузкой носит название эквивалентной системы. Условие эквивалентности этой заданной системы состоит в том, что величины лишних неизвестных должны быть такими, чтобы перемещения в основной 0k и в исходной исхk системами были бы одинаковыми

исхk 0л .

В исходной и в основной системах перемещения в направлениях лишних неизвестных должны быть равны нулю 01 02 ... 0k ... 0n 0 . То есть, помимо уравнений статики, имеется n дополнительных условий.

Пользуясь принципом независимости действия сил, запишем последние выражения в виде

Здесь 0k ( X i ) - перемещения в основной системе в направлении k -ой неизвестной от действия X i - го неизвестного усилия; 0k (P) - перемещение в основ-

ной системе в направлении k -ой неизвестной от действия всех внешних нагрузок.

Так как каждое перемещение 0k ( X i ) пропорционально соответствующей

В случае изгиба эти коэффициенты вычисляются по формулам Максвелла-

Мора

Здесь L -длина основной системы ( для балки –это просто длина балки, для рамы

– это сумма длин стоек и ригелей рамы); M j - изгибающий момент в основной системе от действия только неизвестного усилия X i 1; M k - изгибающий момент в основной системе от действия только неизвестного усилия X k 1; M P -

изгибающий момент в основной системе от действия только внешней нагрузки (всех сил и моментов).

Если функции M j , M P простые, то интегралы вычисляются путем непо-

средственного интегрирования. На практике используется приближенное вычисление интегралов, используя формулу Симпсона

l

l f1 (z) f2 (z) d z 6 ( f1 (0) f2 (0) 4 f1 (l / 2) f2 (l / 2) f1 (l) f2 (l)) .

Эта формула применима, если на участке длиной l, выполняются условия:

1.участок должен быть прямолинейным,

2.функции должны быть монотонными,

3.жесткость балки на участке должна быть постоянна EJ x const

Последовательность расчета статически неопределимых систем

1.Определить степень неопределимости системы - n.

2.Выбрать основную систему, отбрасывая лишние связи и заменяя их неизвестными усилиями (или моментами).

3.Построить эпюры единичных изгибающих моментов M j (j = 1, 2,…,n),

нагружая основную систему последовательно усилиями X j 1 .

4.Построить эпюру изгибающего момента M P , нагружая основную систему только внешними нагрузками.

5.Вычислить единичные jk и грузовые jk перемещения, используя соот-

ветствующие интегралы МаксвеллаМора. Интегрирование проводить по формуле Симпсона.

6.Решить алгебраическую систему канонических уравнений, то есть определить значения неизвестных усилий X i .

7.Построить окончательные эпюры изгибающего момента и поперечной силы в основной системе, нагруженной внешними усилиями и найденными X i

общими методами или по формуле

n

M x (z) M p (z) M k (z) X k .

k 1

8.Провести деформационную проверку, то есть вычислить перемещения

j в местах приложения усилий X i , которые по условию должны быть равными

нулю

Рис. 2

Подстав эти коэффициенты в канонические уравнения, определим величины лишних неизвестных

X1 167 P , X 2 127 P

Далее в эквивалентной системе из уравнений статики определяем опорные реакции в заделке и строим окончательные эпюры поперечной силы Qy (z) и из-

гибающего момента M x (z) .

Выполним деформационную проверку,

Замечание. Метод сил применим и при рассмотрении других видов деформации. При растяжении формулами для вычисления коэффициентов канонических уравнений мы уже пользовались ранее.