ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.03.2025
Просмотров: 660
Скачиваний: 1
Значения эпюр в точках z=l/4, z=l/4 равны:
M x (l / 4) |
3 |
ql 2 |
, M x (l / 2) |
1 |
ql 2 |
|||||
32 |
8 |
|||||||||
k (l / 2) l / 4 , |
||||||||||
M |
k (l / 4) l / 8 , |
M |
||||||||
M (l / 2) 1/ 2
Вычислим перемещение в центре балки
k
k
l |
M x M x dz |
2 l |
l |
l |
l |
l |
|||||||||||||||||||||||||||||
M x (0) M x |
(0) 4M x ( ) M x ( |
) M x ( |
) M x ( |
) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
6E J |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
EJ |
4 |
4 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
l |
(0 4 |
3 |
ql 2 |
1 |
1 |
ql 2 |
l |
) |
5 ql 4 |
|||||||||||||||||||||||||
6 E J |
32 |
8 |
8 |
4 |
384 E J |
||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислим угол поворота левого конца балки
l |
||||||||||||||||||||||
M x |
M dz |
l |
||||||||||||||||||||
M x (0) M (0) 4M x (l / 2) M (l / 2) M x (l) M (l) |
||||||||||||||||||||||
EJ |
6E J |
|||||||||||||||||||||
0 |
||||||||||||||||||||||
l |
(0 1 4 |
1 |
ql 2 |
1 |
0) |
ql 2 |
. |
|||||||||||||||
6 E J |
8 |
2 |
24 E J |
|||||||||||||||||||
Метод начальных параметров
Этот метод, в отличии рассмотренных выше, позволяет определить функцию прогиба на всей длине балки.
Выше было показано, что мерой деформации при прямом чистом изгибе является кривизна нейтрального слоя
1 |
M x |
. |
(11.1) |
|
E J x |
||||
Кривизна не всегда удобный параметр при расчетах балок на изгиб. Удобнее пользоваться вертикальным смещением (прогибом) v и углом поворота υ сечений балки. Угол поворота связан с прогибом приблизительным выражением
dd vz .
При предположении, что h/l = << 1, приведенным выражением для кривизны можно пользоваться и в случае прямого поперечного изгиба.
Из дифференциальной геометрии известно выражение кривизны в прямоугольных декартовых координатах
1 |
1 |
d 2 v |
. |
||||||||
3 |
dz 2 |
||||||||||
dv |
2 2 |
||||||||||
1 |
|||||||||||
dz |
|||||||||||
d v |
2 |
|||||||||||||
Если v |
max |
/ l 1 , то величиной |
можно пренебречь, поэтому вы- |
|||||||||||
d z |
||||||||||||||
ражение для кривизны упрощается |
||||||||||||||
1 |
d 2 v |
. |
(11.2) |
|||||||||||
d z 2 |
||||||||||||||
Подставив выражение (11.2) в (11.1), получим дифференциальное уравне- |
||||||||||||||
ние прямого изгиба балки |
||||||||||||||
d 2 v |
M x |
. |
||||||||||||
d z 2 |
||||||||||||||
EJ x |
||||||||||||||
Считаем, что EJ x const в пределах рассматриваемого участка.
Сущность метода начальных параметров состоит в том, что для каждой нагрузи (сосредоточенных изгибающих моментов, сосредоточенных усилий, равномерно распределенной нагрузки) общий интеграл дифференциального уравнения упругой линии (*) строится как набор частных решений, соответствующих каждой из упомянутых нагрузок. При этом в качестве произвольных постоянных выбираются прогиб v(0) v0 , угол поворота (0) 0 , изгибающий
момент M (0) M 0 , поперечная сила Qy (0) Q0 в начале координат.
Если выражение для прогиба v(z) известно, то внутренние силовые факторы ( изгибающий момент и поперечная сила) равны
M |
(z) EJ |
d 2 v |
, |
Q |
(z) |
dM x |
EJ |
d 3v |
, |
q |
dQx |
EJ |
d 4 v |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
x |
dz 2 |
y |
dz |
x |
dz3 |
dz |
x |
dz 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Эти выражения справедливы и при z = 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M |
(0) M |
EJ |
d 2 v |
| |
, Q |
(0) |
Q |
EJ |
d 3v |
| |
, q q |
EJ |
d 4 v |
| |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
0 |
x |
dz 2 |
0 |
y |
0 |
x |
dz3 |
0 |
0 |
x |
dz 4 |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Функцию прогиба представим в виде ряда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
v(z) a |
0 |
a z a |
z 2 a |
z3 a |
z 4 |
.. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Константы определим из значений функции прогиба и ее производных в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
начале участка (при z = 0). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dv(z) |
a 2a |
z 3a |
z 2 |
4a |
z 3 .. ., |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dz |
1 |
2 |
3 |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
полагая z = 0, получим dvdz |0 a1 .
Последовательно дифференцируя выражение для прогиба, определим значения всех последующих констант
a2 |
1 |
d 2 v |
|0 |
, a3 |
1 |
1 |
d 3v |
|0 |
1 |
d 3v |
, и так далее |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 dz 2 |
3! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
3 dz 3 |
dz |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, выражение для прогиба будет иметь вид |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dv |
z d 2 v |
z 2 |
d 3 z |
z3 |
d 4 v |
z 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
v(z) v(O) |
|0 |
|0 |
|0 |
|0 |
... . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dz |
1! |
dz 2 |
2! |
dz3 |
3! |
dz 4 |
4! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Используя выражения (*), получим окончательно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
M |
0 |
z 2 |
Q |
z3 |
q |
0 |
z 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
v(z) v0 0 |
0 |
... |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
EJ x |
EJ x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1! |
2! |
EJ x |
3! |
4! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Это выражение справедливо, если на рассматриваемом участке все функции непрерывны. Если это не так, то вся длина разбивается на несколько интервалов, на каждом из которых выполняются условия непрерывности. При
этом в начале каждого k – го интервала учитываются возможные скачки перемещений v(a j ) , углов наклона (a j ) , изгибающих моментов M (a j ) , попе-
речных сил Q(a j ) и интенсивности распределенной нагрузки скачки могут входить и опорные реакции (усилия и моменты).
q(a j ) . В эти
z |
M |
z |
2 |
Q0 |
z |
3 |
q0 |
z |
4 |
k 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
vk (z) v0 |
0 |
0 |
v(a j ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
EJ x |
EJ x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1! |
2! |
3! |
EJ x |
4! |
j 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k 1 |
(z a |
) |
k 1 |
M |
(a |
) |
(z a |
)2 |
k 1 |
Q |
(z a |
)3 |
k 1 |
q(a |
) |
(z a |
)4 |
|||||||||||||||||||||||||
(a j ) |
j |
x |
j |
j |
y |
j |
j |
j |
... |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1! |
EJ x |
2! |
EJ x |
3! |
EJ x |
4! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
j 1 |
j 1 |
j 1 |
j 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если часть начальных параметров неизвестна, то они определяются из граничных условий.
Пример 5. Построить эпюры прогиба балки, углов наклона, изгибающих моментов, поперечной силы.
Из уравнений статики определим опорные реакции: A Q0 |
qa , |
B 5qa . |
На рисунке показаны начальные параметры на левом конце балки и скачки внутренних силовых факторов в начале всех последующих интервалов
Составим выражение для прогиба балки на всех участках.
v(z) v0 |
0 |
z |
M z 2 |
Q z3 |
M (z a / 2)2 |
| |
2 ( |
P (z a)3 |
q (z a)4 |
B (z 2a)3 |
|||||
0 |
0 |
) |3 |
|4 |
||||||||||||
2EJ |
6EJ |
2EJ |
6EJ |
24 EJ |
6EJ |
||||||||||
Значение начального угла наклона 0 |
неизвестно. Для его определения восполь- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
зуемся граничным условием на правой опоре: v(2a) 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
v(2a) 0 |
2a |
Q (2a)3 |
M (2a a / 2)2 |
2 ( |
P (2a a)3 |
q (2a a) |
4 |
) |3 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
| |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6EJ |
2EJ |
6EJ |
24 EJ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Отсюда |
0 |
1.396 |
qa 4 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
EJ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Определим последовательно выражения для углов наклона, изгибающего |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
момента, поперечной силы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Q z 2 |
M (z a / 2) |
P (z a)2 |
q (z a)3 |
B (z 2a)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(z) (((( 0 |
0 |
) |1 |
) |2 |
( |
)) |3 |
) | |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
EJ |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2EJ |
3EJ |
6 EJ |
3EJ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(z) EJ |
d 2 v |
Q z M | |
(P |
(z a) |
q (z a)2 |
B (z 2a) | |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
M |
x |
2 |
) | |
3 |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
dz 2 |
0 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Qy (z) EJ d 3v Q0 (P q (z a)) |3 B |4 dz3
По этим выражения построены эпюры
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
1.67 |
|||||||||||||||||||||||||||
1.33 |
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
|||||||||||||||||||||||||||
V(z) |
0.67 |
||||||||||||||||||||||||||
0.33 |
|||||||||||||||||||||||||||
(z) |
0 |
||||||||||||||||||||||||||
0 |
0.33 |
||||||||||||||||||||||||||
0.67 |
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
|||||||||||||||||||||||||||
1.33 |
|||||||||||||||||||||||||||
1.67 |
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
0 |
0.25 |
0.5 |
0.75 |
1 |
1.25 |
1.5 |
1.75 |
2 |
2.25 |
2.5 |
2.75 |
3 |
|||||||||||||||
z |
|||||||||||||||||||||||||||
Вопросы к лекции.
1.Потенциальная энергия при изгибе стержней.
2.Вычисление перемещений. Формула Кастилиано.
3.Вычисление перемещений. Формула Максвелла-Мора.
4.Вычисление интеграла Максвелл-Мора.
5.Вычисление перемещений методом начальных параметров.
Лекция 12.
Статически неопределимые задачи при изгибе стержней
Стержневая система называется статически определимой, если все внутренние силовые факторы можно найти из независимых уравнений статики. В противном случае система называется статически неопределимой. Степенью статической неопределѐнности называется разность n между числом неизвестных внутренних силовых факторов, опорных реакций и числом независимых уравнений статики.
Статически неопределимые системы имеют лишние связи. Число лишних связей называется степенью статической неопределимости.
Способы определения степени статической неопределенности
1. Отбрасывание лишних связей. Применяется для простых систем. Степень статической неопределимости равна числу связей, которые необходимо отбросить, чтобы получить статически определимую систему.
На рисунке приведѐна статически неопределимая балка, у которой число внешних неизвестных реакций в опорах равно пяти, а независимых уравнений равновесия можно составить только три. Отбрасывая две опоры и заменяя их неизвестными усилиями Х1, Х2, получим статически определимую систему.
2. Метод замкнутых контуров. Замкнутый плоский контур имеет три лишние связи
Простой шарнир в замкнутом контуре обращает изгибающий момент в этом сечении в нуль, то есть позволяет составить дополнительное уравнение, снижая, таким образом, на единицу степень статической неопределимости. Если в шарнире сходятся m шарниров, то можно составить kш = (m-1) условий.
Степень статической неопределимости определяется по формуле
n3 C kш(i) .
i 1N
где C - количество замкнутых контуров, N - число узлов с шарнирами, kш(i ) - кратность i - го шарнира.
При подсчете числа контуров и шарниров необходимо учитывать опорные стержни и присоединяющие их шарниры, и опорную поверхность.
Пример 1. Определить степень статической неопределимости