Файл: финансовая математика.doc

Номинальная ставка - это годовая ставка, проценты по которой начисляются m раз в году (m > 1). Обозначим ее через j . Следовательно, за один период проценты начисляются по ставке j / m.

Пример. Если по номинальной ставке j = 20 % происходит начисление 4 раза в год, то ставка за один период (квартал ) будет равна

20 % : 4 = 5%.

Формулу (8) теперь можно представить следующим образом:

S = P ( 1 + j / m ) ^N, (10)

где N - общее количество периодов начисления, N= m×t, t - количество лет. С ростом частоты m начислений в году коэффициент наращения и, следовательно, абсолютный годовой доход растут.

3.2. Эффективная процентная ставка

Для сравнения реального относительного дохода за год при начислении процентов один и m раз, введем понятие эффективной ставки процентов.

Эффективная годовая ставка процентов i_эф - это ставка, измеряющая реальный относительный доход, который получают в целом за год от начисления процентов, т. е. i_эф - это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m - разовое начисление процентов по ставке за период i = j/ m .

Эффективная ставка находится из условия равенства двух соответствующих коэффициентов наращения за один год:

1 + i_эф = ( 1 + j / m ) ^m.

Отсюда следует, что

i_эф = ( 1 + j / m ) ^m - 1 (11)

Пример. Определите эффективную ставку сложных процентов с тем, чтобы получить такую же наращенную сумму, как и при использовании номинальной ставки j=18 %, при ежеквартальном начислении процентов (m=4).

Решение. Из формулы (11) получаем:

i_эф = ( 1 + 0,18 / 4 )⁴ - 1 = 0, 1925 ( или 19, 25 %).

Пример. Найдите эффективную ставку, если номинальная ставка равна 25 % при ежемесячном начислении процентов.

Решение. i_эф = ( 1 + 0,25 / 12 )¹² - 1 = 0,2807 или 28,07 %.

Для сторон в сделке безразлично, применить ставку 25 % (при помесячном начислении) или годовую ставку 28,07 %.

Пример. Найдите номинальную процентную ставку, проценты по которой начисляются по полугодиям, эквивалентную номинальной ставке 24% с ежемесячным начислением процентов.

Решение. Пусть j₂- процентная ставка, соответствующая начислению по полугодиям, j₁₂- по месяцам.

Из равенства коэффициентов наращения получаем:

( 1 + j₂ / 2 )² = ( 1 + j₁₂ / 12 )¹²,

отсюда

1 + j₂ / 2 = ( 1 + j₁₂ / 12 )⁶ Þ j₂ = 2[( 1 + j₂ / 12 )⁶ - 1] =

= 2 [( 1 + 0,24/12)⁶ - 1 ] = 0,25 или j₂= 25 %.

3.3. Непрерывное начисление процентов

Сумма, наращенная за t лет по формуле (10) при постоянной процентной ставке j_m с увеличением числа m увеличивается, но при неограниченном возрастании m сумма S = S_m стремится к конечному пределу.

Действительно

Этот факт дает основание применять непрерывное начисление процентов по годовой ставке . При этом наращенная сумма за время t определяется формулой

S = Pe^^t. (12)

Процентная ставка  называется силой роста.

Пример. Банк начисляет проценты по непрерывной ставке =8 % на сумму 20 тыс. руб. в течение 5 лет. Найти наращенную сумму.

Решение. Из формулы (12) следует, что наращенная сумма

S = 20 000 e^0,08^⁵= 20 000  e^0,4 = 20 000  1,49182 = 29 836,49 руб.

Задачи

3.1. Сумма 400 тыс. руб. инвестируется на 2 года под 30 % годовых. Найдите наращенную сумму и сложные проценты за этот срок.

3.2. Кредит размером 500 тыс. руб. выдан под сложные проценты на 1 год по ставке 10 % в месяц. Вычислите полную сумму долга к концу срока.

3.3. Определите сложные проценты за полтора года, начисленные на 70 тыс. руб. по ставке 5 % за квартал.

3.4. На срочный вклад в банке зачислено $200 по ставке 6 % годовых. Найдите накопленные на счете суммы через 2, 3, 4 и 5 лет при условии начисления: а) простых процентов; б) сложных процентов; в) непрерывных процентов.

3.5. Рассчитайте эффективную процентную ставку, эквивалентную номинальной ставке 36 %, при ежемесячном начислении процентов. Ответ: 42,6 %.

3.6. Для номинальной ставки 12 % с начислением процентов два раза в год вычислите эквивалентную ставку, проценты по которой начисляются ежемесячно.

Учет инфляции

В современных условиях инфляция часто играет решающую роль, и без ее учета конечные результаты представляют собой весьма условную величину. В реальной жизни инфляция проявляется в падении покупательной способности денег и общим уровнем повышения цен. Следовательно, ее необходимо учитывать при проведении финансовых операций. Рассмотрим способы ее учета.

Темпы инфляции измеряются с помощью системы индексов инфляции, которые характеризуют среднее изменение уровня цен для некоторого фиксированного набора (корзины) товаров и услуг за определенный период времени. Пусть стоимость корзины в момент времени t равна S(t).

Индексом цен или индексом инфляции J_P за время от t₁до t₂называется безразмерная величина

J_P= S( t₁) / S( t₂ ),

а темпом инфляции за этот период называется относительный прирост цен:

h = =J_P- 1.

Отсюда индекс цен

J_P= 1 + h.

Если срок рассмотрения инфляции включает в себя n периодов, в каждом из которых средний темп инфляции равен h, то

J_P= (1 + h)ⁿ.

В случае, когда темп инфляции в i-ом периоде равен h_i , индекс инфляции за n периодов вычисляется по формуле

J_P= (1 + h₁)(1 + h₂)…(1 + h_n).

Индекс инфляции J_P показывает во сколько раз, а темп инфляции h - на сколько процентов выросли цены за рассматриваемый период.

Индекс покупательной способности денег J_Dравен обратной величине индекса цен:

J_D= 1 / J _P= 1/ ( 1 + h).

Пример. Вы имеете сумму в 140 тыс. руб. Известно, что за два предшествующих года цены выросли в два раза, т.е. индекс цен J_P= 2. В этом случае индекс покупательной способности денег равен J_D= 1/2. Значит, реальная покупательная способность 140 тыс. руб. составит в момент получения всего 140 × 1/2 = 70 тыс. руб. в деньгах двухлетней давности.

Если h - годовой темп инфляции, то годовой индекс цен равен 1 + h, поэтому наращенная сумма с учетом инфляции

S _и= P ( 1 + i )ⁿ = P (13)

Очевидно, что если среднегодовой темп инфляции h равен ставке процентов i, то S_и= P, т.е. роста реальной суммы не произойдет: наращение будет поглощаться инфляцией. Если h > i , то реальная сумма меньше первоначальной. Только в ситуации h < i происходит реальный рост.

Пример. Постоянный темп инфляции на уровне 10% в месяц за год приводит к росту цен в размере J_P = 1,1¹² = 3,14. Таким образом, годовой темп инфляции h = J_P- 1 = 2,14 или 214%.

В целях уменьшения воздействия инфляции и компенсации потерь от снижения покупательной способности денег используется индексация процентной ставки. При этом ставка корректируется в соответствии с темпом инфляции.

Скорректированная ставка называется брутто-ставкой. Вычислим эту ставку, обозначив ее через r.

Если компенсируется инфляция в размере брутто-ставки при наличии простых процентов, то величину r находим из равенства множителей наращения:

1 + n× r = ( 1 + n × i ) J_P = ( 1 + n × i )( 1 + h ) ⁿ,

Отсюда

(14)

Величину брутто-ставки для наращения по сложной процентной ставке находим из равенства (n = 1):

1 + r = ( 1 + i )( 1 + h ),

тогда

r = i + h + h×i (15)

Формулы (14), (15) означают следующее: чтобы обеспечить реальную доходность в i %, при темпе инфляции h нужно назначить ставку в размере r %.

Пример. Банк выдал на 6 месяцев кредит - 5 млн руб. Ожидаемый месячный уровень инфляции – 2 %, требуемая реальная доходность операции равна 10 % годовых. Определите ставку процентов по кредиту с учетом инфляции, размер наращенной суммы и величину процентного платежа.

Решение. Индекс инфляции J_P= (1 + 0,02)⁶ = 1,1262. Из (14) получим величину брутто-ставки:

r = =0,365 (или 36,5 % ).