ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.05.2025
Просмотров: 1441
Скачиваний: 2
Тема 13. Элементы математической статистики
1.Предмет математической статистики. Генеральная совокупность, выборочный метод. Вариационный ряд. Статистическое распределение выборки. Интервальный статистический ряд. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения.
2.Статистические оценки параметров и определение закона распределения генеральной совокупности. Точечные и интервальные оценки. Свойства точечных оценок (статистик): несмещенность, состоятельность и эффективность. Точечные оценки математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения генеральной совокупности. Исправленная выборочная дисперсия.
3.Интервальные оценки параметров генеральной совокупности. Доверительная вероятность. Доверительные интервалы для оценивания математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности.
4.Статистические гипотезы: параметрические и непараметрические. Статистические критерии проверки гипотез. Уровень значимости. Статистическая проверка непараметрических гипотез. Критерий
согласия χ2 Пирсона.
5.Элементы корреляционного и регрессионного анализа. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Линейная корреляционная зависимость и прямые регрессии. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства. Проверка значимости коэффициента корреляции.
6.Эмпирические зависимости. Метод наименьших квадратов.
14
Тема 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
ÈАНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
1.1.Элементы линейной алгебры
Матрицей размера m × n называется таблица, состоящая из m n элементов, записанных в m строк и n столбцов. Матрица обычно берется в круглые или квадратные скобки и обозначается большими буквами латинского алфавита. Матрица А размера m × n имеет вид
a11 a12 |
a1n |
||||
a |
a |
a |
, |
(1.1) |
|
A = 21 |
22 |
2n |
|||
am2 |
|||||
am1 |
amn |
||||
где aij , i =1, 2,…, m; j =1, 2,…, n |
– элементы матрицы A. Если число |
||||
строк равно числу столбцов (m = n), то матрица называется квадратной. Для квадратной матрицы вводится понятие определителя.
Определитель – это числовая характеристика квадратной матрицы, вычисленная из элементов матрицы по определенным правилам. Определитель берется в прямые скобки и обозначается det A .
Так для квадратной матрицы второго порядка
a11 |
a12 |
(1.2) |
|
A = |
|||
a21 |
a22 |
||
определитель вычисляется следующим образом:
det A = |
a11 |
a12 |
= a |
a |
22 |
− a |
21 |
a . |
a21 |
a22 |
11 |
12 |
|||||
Говорят, что элементы a11, a22 лежат на главной диагонали, а эле-
менты a21 и a12 – на побочной. Квадратной матрице третьего порядка
a11 a12 |
a13 |
|||
A = |
a |
a |
a |
|
21 |
22 |
23 |
||
a |
a |
a |
||
31 |
32 |
33 |
||
соответствует определитель третьего порядка, который вычисляется следующим образом:
15
a11 |
a12 |
a13 |
||
det A = |
a21 |
a22 |
a23 |
= a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − (1.3) |
a31 |
a32 |
a33 |
−a13a22 a31 −a12 a21a33 −a11a23a32 . |
Числа a11 , a22 , a33 – это элементы главной диагонали, a13 , a22 , a31 – элементы побочной диагонали.
Указанное правило вычисления определителя называется правилом треугольников.
Действительно, слагаемые, входящие в формулу (1.3) со знаком « + », лежат на главной диагонали определителя, а также в углах треугольников со сторонами, параллельными главной диагонали, а слагаемые, входящие в формулу (1.3) со знаком « – », лежат на побочной диагонали и в углах треугольников со сторонами, параллельными побочной диагонали:
• |
• |
• |
• |
• |
• |
• |
• |
• |
|||||||||
• • • |
= |
• • • |
− |
• • • |
. |
||||||||||||
• |
• |
• |
• |
• |
• |
• |
• |
• |
|||||||||
Рассмотрим применение определителей для решения систем линейных уравнений (метод Крамера). Пусть дана система из трех линейных уравнений с тремя неизвестными x1, x2 , x3 :
a11x1 + a12 x2a21x1 + a22 x2a31x1 + a32 x2
+ a13 x3 = b1, |
||
+ a23 x3 |
= b2 , |
(1.4) |
+ a33 x3 |
= b3 , |
|
где aij , bi (i =1, 2, 3; j =1, 2, 3) – заданные числа. Запишем систему (1.4) в матричном виде:
AX = b; |
(1.5) |
||||||||||
a11 a12 a13 |
x1 |
b1 |
|||||||||
A = |
a a a |
; X = |
x |
; |
b = |
b |
, |
||||
21 |
22 23 |
2 |
2 |
||||||||
a a a |
x |
b |
|||||||||
31 |
32 33 |
3 |
3 |
||||||||
где A – матрица системы; X – столбец неизвестных; b – столбец свободных членов.
Пусть определитель матрицы системы (1.5) отличен от нуля:
16
a11 |
a12 |
a13 |
|||
= |
a21 |
a22 |
a23 |
≠ 0 . |
(1.6) |
a31 |
a32 |
a33 |
Тогда система (1.5) имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера:
x j = |
j |
, j =1, 2, 3, |
(1.7) |
где j – определитель, полученный из определителя системы путем замены j-го столбца столбцом свободных членов.
Задача 1. Решить систему уравнений
2x1 − 4x2 + x3 = 3, |
||
−5x2 |
+3x3 = −1, |
|
x1 |
||
x |
− x |
+ x = 1. |
1 |
2 |
3 |
Решение. Вычислим определитель данной системы по правилу
треугольников: |
−4 |
|||||||||||||
2 |
1 |
= 2 (−5) 1 +(−4) 3 1+1 1 (−1) − |
||||||||||||
= |
1 −5 3 |
|||||||||||||
1 |
−1 |
1 |
||||||||||||
−1 (−5) 1 − 2 3 (−1) −1 1 (−4) = |
||||||||||||||
= −8 ≠ 0. |
||||||||||||||
Вычисляем вспомогательные определители: |
||||||||||||||
3 |
−4 |
1 |
= 3 (−5) 1 + (−4) 3 1+1 (−1) (−1) − |
|||||||||||
1 = |
−1 −5 3 |
|||||||||||||
1 |
−1 |
1 |
||||||||||||
−1 (−5) 1 −3 3 (−1) −1 (−1) (−4) = −16; |
||||||||||||||
2 |
3 |
1 |
= 2 (−1) 1 +1 3 3 +1 1 1 − |
|||||||||||
2 = |
1 |
−1 3 |
||||||||||||
1 |
1 |
1 |
||||||||||||
−1 (−1) 1 − 2 3 1−1 1 3 = 0 ;
17
2 |
−4 |
3 |
= 2 (−5) 1 +1 (−4) (−1) + |
|||||||||||||
3 = |
1 −5 −1 |
|||||||||||||||
1 |
−1 |
1 |
(−1) (−1) − (−4) 1 1 =8. |
|||||||||||||
−3 |
(−5) 1 − 2 |
|||||||||||||||
Значит, x = 1 |
= |
−16 |
= 2 , x |
2 |
= |
2 = |
0 |
= 0 , x |
3 |
= 3 |
= |
8 |
= −1. |
|||
1 |
−8 |
−8 |
−8 |
|||||||||||||
Проверка: |
||||||||||||||||
2 2 − 4 0 −1 = 3, |
||||||||||||||||
2 −5 0 +3 (−1) = −1, |
||||||||||||||||
2 − 0 −1 = |
1. |
|||||||||||||||
Верно.
Ответ: x1 = 2 ; x2 = 0 ; x3 = −1.
1.2. Основные сведения из векторной алгебры
Вектором называют направленный отрезок (рис. 1.1). Если точка А – начало вектора, а В – его конец, то такой вектор обозначают AB .
AB |
Наряду с этим используется обозначение век- |
|||||||||
торамалойлатинскойбуквойсострелкой, т. е. a . |
||||||||||
B |
||||||||||
Векторы называют равными, если они имеют |
||||||||||
равные длины и одинаково направлены. Число, |
||||||||||
равное длине вектора, называется его модулем |
||||||||||
A |
и обозначается символом |
a |
. Если |
a |
= 1, то век- |
|||||
Рис. 1.1 |
тор a называется единичным |
. |
||||||||
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Пусть вектор a наклонен к оси l под углом ϕ (рис. 1.2). Тогда проекция вектора a на ось l обозначается символом прl a и вычисляется по формуле
прl a = |
a |
cosϕ. |
(1.8) |
||
Проекции вектора a на оси прямоугольной декартовой системы координат называются координатами вектора. Координаты вектора
18
обозначаются буквами x, |
y, |
z соответственно |
{ |
координатным осям, |
||||
а вектор в координатной форме записывается a = |
x; y; z |
} |
. Три взаимно- |
|||||
перпендикулярных вектора единичной длины i , |
j, k называют орто- |
|||||||
нормированным базисом. |
||||||||
a |
a |
|||||||
ϕ |
ϕ |
|||||||
прl a |
l |
прl a |
l |
|||||
Рис. 1.2 |
||||||||
Вектор в ортонормированном базисе имеет вид |
||||||||
a = xi + yj + zk . |
(1.9) |
|||||||
Если даны две точки M1 (x1; y1; z1 ) и M 2 (x2 ; y2 ; z2 ) , являющиеся |
||||||||
соответственно началом и концом вектора M1M 2 , то |
||||||||
M1M 2 ={x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1}. |
(1.10) |
|||||||
Длина вектора a находится по формуле |
||||||||
a = |
x2 + y2 + z2 . |
(1.11) |
||||||
Если вектор a составляет с координатными осями углы α , β и γ,
то cosα , cosβ, cos γ называются направляющими косинусами векто-
ра a и определяются по формулам
cos α = |
x |
; cosβ = |
y |
; cos γ = |
z |
, |
(1.12) |
||||||||
a |
a |
a |
|||||||||||||
причем |
|||||||||||||||
cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1. |
(1.13) |
||||||||||||||
Над векторами a ={x1; y1; z1}, b ={x2 ; y2 ; z2 } определены операции сложения, умножения на число, а также скалярное и векторное произведения.
При этом для сложения векторов и умножения вектора на число имеют место следующие формулы:
19