Файл: высшая математика ч3.pdf

6

∑ xi2

=1 + 4 + 16 + 25 + 36 + 64 = 146 ,

i=1

6

∑ yi

= − 4,3 − 1 + 5 + 8,5 + 12 + 18 = 38,2 ,

i=1

6

∑ xi yi = −4,3 − 2 + 20 + 42,5 + 72 + 144 = 272,2 .

i=1

Подставляя полученные значения сумм в систему (9.4), получим

6b + 26a = 38,2,

т. е. a = 3,2 , b = −7,5 . Следовательно, искомая

+ 146a = 272,2,

26b

функция y = 3,2x − 7,5 .

Линейная зависимость

20

15

10

5

0

-5 0

2

4

6

8

10

-10

Рис. 9.4

На рис.9.4 изображена линейная зависимость y = 3,2x − 7,5 .

9.2.6. Задачи для самостоятельного решения

А

Найти стационарные точки функций.

1. z = 3x 2 + 6xy + y 2 − 12x .

2. z = xy(6 − x − y) ( x > 0 , y > 0 ).

3. z = 8(x − y) − x 2 − y 2 .

4. z = 5x 2 + 2( y − 3)2 .

5. Показать, что точка P(3; 3)

является точкой локального максимума

функции z = 9xy − x 2 y − xy 2 .

x

–2

–1

0

1

2

3

y

–0,4

0,2

1

1,7

2

2

Б

12.

Исследовать

на экстремум

функцию

двух

переменных

z = 2x3 + xy 2 + 5x 2 + y 2 .

16. Найти наибольшее

и

наименьшее значения функции

z = x 2 − xy + 2 y 2 + 3x + 2 y + 1

в

замкнутой области, ограниченной

5

5

=

25

. 11. y = 0,62x + 0,89 .

10.

zmax

;

24

4

6

; 0

Б

12. z

(0; 0) = 0 , z

−

5

=

125

. 13. Все слагаемые равны между

min

max

3

27

9.3.1. Основные теоретические сведения

Производной функции z = f (x; y) в точке M 0

по направлению

вектора l = MM 0

называется предел (если он существует) отношения

приращения функции

z = f (M1 ) − f (M ) к величине перемещения

MM1

, когда последнее стремится к нулю:

∂z = lim

f (M

1 ) − f

(M )

= lim

z , где ρ =

.

x2 + y 2

∂l

MM1

→0

MM1

ρ→0

ρ

Если функция z

=

f (x; y) дифференцируема, то производная в

данном направлении вычисляется по формуле

∂z

∂z

∂z

(9.5)

∂l

= ∂x cos α + ∂y cosβ ,

где cos α , cosβ –

направляющие косинусы вектора l .

В случае функции трех переменных u = u(x; y; z) производная в

данном направлении l вычисляется по формуле

∂u

∂u

∂u

∂u

(9.6)

∂l

= ∂x cos α + ∂y cosβ + ∂z cos γ ,

где cos α , cosβ ,

cos γ –

направляющие косинусы вектора l(xl ; yl ; zl ) ,

определяемые по формулам

cos α =

xl

, cosβ =

yl

,

xl2 + yl2 + zl2

xl2 + yl2 + zl2

(9.7)

cos γ =

zl

.

изменения функции в точке M по этому направлению. Если ∂u > 0 ,

∂l

то функция u = u(x; y; z) возрастает в направлении l , если

∂u < 0 , то

∂l

∂u

функция u = u(x; y; z)

убывает

в направлении l . Величина

∂l

представляет

собой

мгновенную скорость

изменения

функции

u = u(x; y; z)

в направлении l

в

точке M :

чем больше

∂u

,

тем

∂l

быстрее изменяется функция.

Градиентом функции z =

f (x; y) называется вектор, имеющий

своими координатами значения частных производных функции

z в

точке M (x; y) :

∂z

∂z

(9.8)

gradz = ∂x i +

∂y

j .

Градиент функции и производная в направлении вектора l

связаны формулой

∂z

= прl gradz .

(9.9)

∂l

Градиент указывает направление наибыстрейшего роста

функции z =

f (x; y) в данной точке. Производная ∂z в направлении

∂l

Решение. Используем формулу (9.5):

¶z =

¶z cos a +

¶z cosb.

¶l

¶x

¶y

Находим

частные

производные функции

z x' = 6xy + 2 y 2 ,

z 'y = 3x 2 + 4xy .

Значения

частных производных в

точке M (2;3) :

z x' (2;3) = 6 × 2 × 3 + 2 × 32 = 54 ,

z 'y (2;3) = 3 × 22 + 4 × 2 ×3 = 36 . Производная

по направлению

¶z = 54 ×

3

+ 36 × -

4

=

18

.

¶l

5

5

5

Пример 2А. Дана функция

z = x 2 - 3xy + y5 . Найти градиент

этой функции и его величину в точке (−1;1) .

Решение.

Находим

градиент

функции

по формуле

(9.8):

gradz =

¶z i +

¶z

j .

Частные

производные заданной

функции

¶x

¶y

z x' = 2x - 3y ,

z 'y

= -3x + 5 y 4 . Найдем значения частных производных

в

указанной

точке

(−1;1) :

z x' (-1;1) = 2 × (-1) - 3 ×1 = -5 ,

z 'y (-1;1) = 3 + 5 = 8 . Величина градиента

=

(-5)2 + 82

=

gradz

89 .

Пример 3Б. Найти направление максимального роста функции

z =

4x 2

+ 5 y 2

в

точке M (3; 2) .

Найти наибольшее из

значений

y

производных по разным направлениям в точке A .

Решение.

Направление

максимального

роста

функции

производные z x' =

8x

, z 'y

= -

4x2

+10 y и их значения в точке M (3; 2) :

y

y 2

z x' (3; 2) =

8 ×3

= 12 ,

z 'y (3; 2) = -

4 ×9

+10 × 2 = 11. gradz = 12i +11 j –

2

4

¶z

2

2

производной в точке

A равно:

=

gradz

=

12

+ 11

= 265 .

¶l наиб