ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.05.2025
Просмотров: 483
Скачиваний: 1
9.3.3. Задачи для самостоятельного решения
А
1. |
Найти производную функции |
z = ln(x3 + y 2 ) |
в точке |
M (2; −1) |
в |
|||||||
направлении вектора l = 12i − 5 j . |
||||||||||||
2. |
Найти производную функции z = |
x |
в |
точке |
M (4;1) по |
|||||||
y |
||||||||||||
направлению MM1 , где M1 (8; − 2) . |
||||||||||||
3. |
Найти производную функции u = xy + yz + zx |
в точке |
M (2;1;3) |
в |
||||||||
направлении, идущем от этой точки к точке N (5;5;15) . |
||||||||||||
Найти градиент функции z = |
||||||||||||
4. |
x 2 − y 2 |
в точке M (5;3) . |
||||||||||
5. |
Найти градиент функции z = x3 − y3 + 2xy в точке M (1; 2) . |
|||||||||||
Б |
||||||||||||
6. |
Найти производную функции u = x 2 − 3yz + 10 |
в точке M (1; 2; −1) |
в |
|||||||||
направлении, составляющем одинаковые углы со всеми координатными осями.
7. Определить направление наибыстрейшего возрастания функции z = x3 y 2 − 5x в точке M (−1; −1) и вычислить значение производной
по этому направлению.
8. Найти производную функции z = ln(x + y) в точке M (1; 2) , принадлежащей параболе y 2 = 4x , по направлению этой параболы.
9.3.4. Ответы |
||||||||||||||||||||
A |
||||||||||||||||||||
1. |
154 |
. 2. |
4 |
. 3. |
68 |
4. |
5 |
i − |
3 |
j . 5. 7i −10 j . |
||||||||||
117 |
5 |
13 |
4 |
|||||||||||||||||
4 |
||||||||||||||||||||
Б |
||||||||||||||||||||
6. |
− |
3 |
. 7. gradz = −2i + 2 j ; |
2 |
. |
|||||||||||||||
8 |
. 8. |
|||||||||||||||||||
3 |
3 |
|||||||||||||||||||
26
Глава 10. ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
10.1.Двойной интеграл
10.1.1.Основные теоретические сведения
Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является так называемый двойной интеграл.
Пусть D – замкнутая, ограниченная линией L , область плоскости Oxy , в которой задана непрерывная функция двух
переменных |
z = f (x; y) . Разобьем область D на |
n «элементарных |
||
областей» |
D1 , D2 ,…, Dn , площади которых |
обозначим через |
||
( i = |
) выберем |
|||
S1, S2 ,…, |
Sn (рис. 10.1). В каждой области Di |
1, n |
||
произвольную точку Ci (xi ; yi ) и составим сумму
Sn = f (C1 ) |
S1 + f (C2 ) |
S2 + ... + f (Cn ) Sn |
= |
|
= f (x1; y1 ) S1 + f (x2 ; y2 ) |
S2 + ... + f (xn ; yn ) |
Sn |
= |
|
n |
n |
(10.1) |
||
= ∑ f (Ci ) Si = |
∑ f (xi ; yi ) Si . |
|||
i=1 |
i=1 |
|||
Эта сумма |
называется интегральной |
суммой функции |
||
z = f (x; y) в области D . |
||||
Наибольшее расстояние между точками области называется диаметром области. Обозначим через d наибольший из диаметров
областей Di ( i = 1, n ). Тогда стремление d к нулю будет означать измельчение разбиения области D на «элементарные области» Di (и, как следствие, стремление n к ∞ ).
Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм Sn при d → 0 , не зависящий ни от способа
разбиения области D на «элементарные области» Di , ни от выбора точек Ci (xi ; yi ) , то этот предел называется двойным интегралом от функции f (x; y) по области D и обозначается
∫∫ f (x; y)dS или ∫∫ f (x; y)dxdy ,
D |
D |
∫∫ f (x; y)dxdy = |
n |
lim ∑ f (xi ; yi ) Si . |
|
(n→∞) |
|
D |
max di →0 i=1 |
27
В таком случае говорят, что функция f (x; y) интегрируема в области D . При этом функция f (x; y) называется подынтегральной функцией, область D – областью интегрирования, dxdy (или dS ) – элементом площади.
Если функция f (x; y) непрерывна в замкнутой области D , то она интегрируема в этой области.
Геометрический и механический смысл двойного интеграла
Пусть |
f (x; y) ³ 0 |
и |
непрерывна в области D . |
Тогда |
интеграл |
|||||||||||||
∫∫ f (x; y)dS |
равен объему |
цилиндрического тела, |
ограниченного |
|||||||||||||||
D |
||||||||||||||||||
снизу |
областью |
D , |
с боков – |
цилиндрической |
поверхностью, |
|||||||||||||
образующие которой параллельны оси Oz , направляющей служит |
||||||||||||||||||
линия |
L , |
и сверху |
тело |
ограничено поверхностью |
z = f (x; y) |
|||||||||||||
(рис. 10.2): |
V = ∫∫ f (x; y)dxdy . |
|||||||||||||||||
(10.2) |
||||||||||||||||||
D |
||||||||||||||||||
y |
z |
z = f (x; y) |
||||||||||||||||
Di |
||||||||||||||||||
Ci |
d |
0 |
||||||||||||||||
L |
y |
|||||||||||||||||
x |
D |
|||||||||||||||||
L |
||||||||||||||||||
0 |
x |
|||||||||||||||||
Рис. 10.1 |
Рис. 10.2 |
|||||||||||||||||
Пусть поверхностная плотность плоской пластины D g = g(x; y) |
||||||||||||||||||
есть непрерывная |
функция |
от x |
и y . Тогда масса пластины m |
|||||||||||||||
численно равна двойному интегралу от плотности: m = ∫∫ γ(x; y)dxdy .
D
Свойства двойного интеграла аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла.
28
10.1.2. Вычисление двойного интеграла
Предположим,
системы неравенств
что область |
D (рис. 10.3) можно задать в виде |
||
a ≤ x ≤ b, |
|||
1 |
2 |
(x). |
|
y (x) ≤ y(x) ≤ y |
|||
Геометрически это означает, что если проводить вертикальные
прямые x = xi |
( a < xi < b ) через внутренние точки области D , то они |
|
пересекают границу области в точках M i |
(точках «входа») и точках |
|
Ni (точках |
«выхода»), причем точки |
M i принадлежат кривой |
y = y1 (x) , а точки Ni |
принадлежат кривой y = y2 (x) . Тогда |
||
b |
y2 ( x) |
||
∫∫ f (x; y)dxdy = ∫ dx |
∫ f (x; y)dy . |
(10.3) |
|
D |
a |
y1 ( x) |
|
Если же область D (рис. 10.4) можно задать в виде системы
c ≤ y ≤ d ,
неравенств то
x1 ( y) ≤ x( y) ≤ x2 ( y),
d |
x2 |
( y) |
||
∫∫ f (x; y)dxdy = ∫ dy |
∫ f (x; y)dx . |
(10.4) |
||
D |
c |
x1 |
( y) |
|
y |
||||||
y |
Ni |
d |
||||
y = y2 (x) |
x = x2 ( y) |
|||||
x = x ( y) |
||||||
D |
1 |
D |
||||
M i |
Ni |
|||||
y = y1 (x) |
||||||
M i |
0 |
|||||
a |
b |
x |
||||
0 |
xi |
x |
c |
|||
Рис. 10.3 |
Рис. 10.4 |
|||||
Интегралы, стоящие в правых частях равенств (10.3) и (10.4), называются повторными (или двукратными). Они отличаются друг от друга порядком интегрирования. Интеграл, содержащий функцию f (x; y) , называется внутренним интегралом, другой – внешним. При
вычислении повторных интегралов следует брать сначала внутренний интеграл, при этом переменная, не стоящая под знаком
29