Файл: Марченко_Высшая математика.pdf

y =

x

x,

x ≥ 0,

=

−x, x < 0

непрерывна, но не дифференцируема в точке x = 0.

В точке x = 0 имеем:

y =

x

y =

f (0 +

x)− f (0)

f ( x)

x

=

=

.

x

x

x

x

Односторонние пределы не равны меж-

ду собой, т. к. при

x → 0

lim

y = −

x = −1,

lim

y

=

x

=1.

0

x

x

x→−0 x

x

x→+0

x

( x<0)

( x>0)

1. (c)′ = 0; (x)′ =1.

2. (u ± v)′ = u′± v′.

′

′

u

′

′

′

3. (u v)

′

′

; (cu)

′

u v −uv

v

= v

(

x

)

≠ 0

.

4.

=

2

, где

.

= u v +uv

= cu

v

v

Производная сложной функции

y = y(u(x)), где y = y(u),

Рассмотрим сложную функцию вида

u =u (x).

Если функция u =u (x) дифференцируема в точке x0 и функция

y =y(u) дифференцируема в точке u0 =u(x0 ), то функция y=y(u(x))

дифференцируема в точке x0 и

y′x (x0 )= yu′ (u0 ) u′x (x0 )

или символически y′x = yu′

u′x .

Производная обратной функции

Пусть функция y = y(x)

непрерывна, строго монотонна на ин-

тервале (a; b) и в точке x0 (a; b) имеет конечную и неравную ну-

лю производную. Тогда для обратной функции x =x(y)

в соответ-

ствующей точке y0

= y(x0 ) также существует производная, равная

x′y

=

1

.

y′x

α ′

α−1

′

′

1

′

1.

(u

)

= αu

u , α = const,

u = u(x).

2. (

u )

=

u .

2

u

1

′

1

u ′

u

3.

= −

u′.

4. (a

)

= a

(ln a)u′.

u

2

u

6. (loga u)′ =

1

u′.

5.

(eu )′ = euu′.

u ln a

′

1

8. (sin u)′ = cosu u′.

7.

(ln u)

= u u′.

1

10. (cosu)′

= −sin u u′.

′

9.

(arcsin u)

=

u

′

.

12. (tgu)′ =

1

u′.

1 −u2

2

u

′

1

cos

′

′

1

11. (arccosu) = −

u

.

1 −u2

14. (ctgu)

= −

u′.

sin2 u

′

1

′

1

13. (arctgu)

=

u′.

15. (arcctgu) = −

u′.

1+u2

1+u2

Производные высших порядков

y = f (x)

Производной второго порядка функции

называется

производная от производной f ′(x) (обозначается

f ′′(x)

, d 2 y ):

dx2

1)

y =

4

+ 5

7x − 2;

2)

y = cos2 x sin x ;

x2

3)

y = arctg x

;

4)

y = sin (ln 5x).

1 + x2

′

′

′

′

1

′

4

4

′

−

y′ =

+ 5

7 x − 2

=

+ (5 7 x ) − (2)

=

4(x

2 )

+ 5

7

x5

− 0 =

x

2

x

2

−4

8

7

8

7

= 4 (−2)x−3 + 5 7

1 x 5

= −

+

5

= −

+

1 5

;

x3

5 5

x3

5

x4

5 x4

y

′

= (cos

2

′

2

x, v

= sin x,

′

′

′

=

x sin x) =

u = cos

(uv)

= u v

+ uv

= (cos

′

′

′

= (u

′

2

sin x + cos

2

2

2

′

=

x)

x (sin x)

= (cos

x)

) = 2u u , u = cos x

′

1

′

1

′

1

cos(ln 5x)

=

(ln u)

=

u , u = 5x

= cos(ln5x)

(5x) = cos(ln 5x)

5

=

u

5x

5x

x

Пример 2. Найти производные указанного порядка:

1)

y = xex , y′′′(x);

2)

y = ln (cos x), y′′(x).

′

1

′

−sin x

2) y′ = (ln (cos x))

=

(cos x)

=

= −tg x,

cos x

cos x

′

1

y

′′

= (−tg x)

= − cos2 x .

Производные функций, заданных параметрически

Если функция задана параметрически: x = x(t ),

то производ-

ные y′x , y′′xx

вычисляются по формулам

y = y (t ),

y′

(y′x )′

y′x =

t

; y′′xx =

′ t .

′

xt

xt

Пример. Найти производные y′x

и y′xx′

функции x = a cos3 t ,

y = asin3 t.

Решение. Найдем xt′ =(acos3 t)′ =3acos2 t (cost)′ = −3acos2 t sin t.

′

3asin2 t cost

sin t

yt′ =(asin3 t) =3asin2 t cost. Тогда

y′x

=

= −

= −tgt.

−3acos

2

t sin t

cost

1

(y′ )′ =(−tgt)′ =

−1

−

1

2

t

, y′′xx =

cos

=

.

−3a cos2 t sin t

3a cos4 t sin t

cos2 t

x

t

Таблица 2.2

′

неявной функции F (x; y) = 0

Схема нахождения производной yx

Этапы

Пример для функции х4 y2

−5x + 3y3 = 7

1. Продифференцировать обе час-

(х4 y2 )′ −5(x)′x +3(y3 )′ =

(7)′;

ти равенства F (x; y) = 0 по пере-

(x4 )′

x

x

менной x, считая, что y = y (x)

y2 + x4 (y2 )′ −5 +3 3y2 y′x = 0;

x

4x3 y2 + x4 2 yyx′ −5 + 9 y2 yx′ = 0

2. Из получившегося в результате

4x3 y

2 + 2x4 yy′

−5 +9 y2 y′ = 0;

дифференцирования равенства вы-

x

x

y′x (2x4 y +9 y2 )= 5 −4x3 y2 ;

разить yx′ через x и y

5 − 4x3 y2

yx′ =

2x4 y +9 y

2

′′

Схема нахождения производной yxx неявной функции F (x; y) = 0

Этапы

Пример для функции 4x2 − y2

= 4

1. Найти yx′

8x −2 yy′x = 0;

y′x

=

8x

= 4

x

2 y

y

2. Найти

y′′ = (y′ )

′ , считая,

y′′

= 4

y − xy′

xx

x

x

xx

y2

что y = y (x)

3. В полученное

выражение

x

4x

2

подставить

уже

найденное

y − x

4

y −

y

y

значение

y

′, тем самым вы-

y′′

= 4

= 4

=

′′

x

x

y2

y2

разив yxx

через y и x

y2 − 4x2

16

2

2

= 4

= y

− 4x

= −4 = −

3 .

y

3

y

Воспользовались условием задачи

Логарифмическое дифференцирование

При

дифференцировании

степенно-показательных

функций

y = u (x)

v(x)

, а также функций вида

y =

ϕ1

(x)ϕ2

(x) ... ϕn (x)

и в не-

ψ

(x)ψ

2

(x)

... ψ

n

(x)

1

Таблица 2.4

Схема логарифмического дифференцирования

Схема логарифмического

Пример для функции

дифференцирования

y = (sin x)

cos x

для функции y = u (x)v(x)

1. Логарифмируем функцию:

ln y = ln (sin x)cos x = cos x ln (sin x)

ln y = ln u (x)v(x) = v (x)ln u (x)

2. Дифференцируем:

u′(x)

(ln y)′ = −sin x ln (sin x)+ cos

2

x

;

′

(ln y)

= v′(x)ln u (x)+v (x)

;

sin x

u (x)

y′

cos2 x

y′

u′(x)

= −sin x ln (sin x)+ sin x

′

y

y = v

(x)ln u (x)+ v (x) u (x)