ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.05.2025
Просмотров: 1609
Скачиваний: 21
Окончание табл. 2.4
Схема логарифмического |
Пример для функции |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференцирования |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = (sin x) |
cos x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
для функции y = u (x)v(x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Выражаем |
y′ |
из полученного соот- |
y′ = |
cos2 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ношения: |
−sin x ln (sin x)+ |
sin x |
× |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u′(x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
v(x) |
×(sin x) |
cos x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y′ = u (x) |
v′(x)ln u (x) |
+v (x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример. Найти производную для функции y = |
х4 5 |
6 − х3 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 5 |
(х+ 7) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. Логарифмируем функцию: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
х |
4 |
5 |
6 |
− х |
3 |
= ln (x |
)+ ln ( |
)− ln ( |
5 )−ln x + 7 = |
||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
5 |
3 |
6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln y = ln |
6 − x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 (х+ 7) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 4ln x + 15 ln (6 − x3 )− 16 ln 5 − 12 ln (x + 7). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y′ |
4 |
−3x2 |
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Дифференцируем: |
= x + |
− |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
5 |
( |
6 − x3 ) |
2 |
(x + 7) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
′ |
4 |
−3x |
2 |
1 |
х |
4 5 |
6 − х |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
′ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5(6 − x3 )− |
3 5 (х+ 7). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Выражаем y : y |
= |
x |
+ |
2(x + |
7) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Геометрический и физический смысл производной
Геометрический смысл производной
Значение производной в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f (x)
в точке M (x0 ; f (x0 )): f ′(x0 )= k = tg α.
y{ |
y |
f (x0) |
M |
α |
|
x0 x0+ x x |
Уравнениекасательнойкграфикуфункции y = f (x) вточкеx0 y = f (x0 )+ f ′(x0 )(x − x0 ).
70
Замечание. В случае бесконечной производной α = π2 , урав-
нение касательной имеет вид х = x0 , касательная к графику функции параллельна оси Oy.
Уравнение нормали к графику функции y = f (x) в точке x0
Нормалью к графику функции в точке x0 называется перпендикуляр к касательной в той же точке. Если f ′(x0 )≠ 0 , то уравнение нормали имеет вид:
y = f (x0 )− f ′(1x0 )(x − x0 ).
y
f (x0)
x0 |
x |
Замечание. Если f ′(x )= 0 , |
то касательная параллельна оси Ох |
||||
0 |
х = x ; если f ′(x )= ±∞, то урав- |
||||
и уравнение нормали имеет вид |
|||||
0 |
0 |
||||
нение нормали имеет вид y = f (x0 ) . |
|||||
Физический смысл производной |
|||||
Если S = S (t ) |
– |
закон прямолинейного |
движения точки, |
то |
|
S′(t0 )=V (t0 ) |
– |
скорость движения в |
момент времени |
t0. |
|
S′′(t0 )=V ′(t0 ) – ускорение– скоростьизмененияскоростивточкеt0. |
|||||
Замечание. В общем случае производную функции можно интерпретировать как «скорость» изменения функции.
Пример 1. Найти уравнения касательной и нормали к графику
функции y = 3 x −3 + 2 в точке с абсциссой x0 |
= 4. |
|||||||||||
1 |
−2 |
1 |
||||||||||
Решение. Найдемпроизводнуюфункции y′ |
= |
(x−3)3 |
= |
. |
||||||||
x |
3 |
33 |
x−3 2 |
|||||||||
Вычислим производную в точке x0 = 4: |
y′x (4)= |
1 |
= |
1 . |
||||||||
33 ( |
4 −3)2 |
3 |
||||||||||
Вычислим значение функции в точке x = 4: y(4)= 3 4 −3 +2 =3. |
||||||||||||
0 |
||||||||||||
Тогда уравнение касательной y = 3 + |
1 |
(x − 4) y |
= |
1 x + |
5 , |
|||||||
3 |
3 |
3 |
||||||||||
уравнение нормали y =3 −3(x − 4) y =15 −3x.
71
Пример 2. В какой точке касательная к графику функции |
|||
y = ln |
( |
) |
= 0 ? |
x2 +1 параллельна прямой y − x +5 |
|||
Решение. Найдем угловой коэффициент прямой:
y − x + 5 = 0 y = x − 5 kпр =1.
Так как касательная в искомой точке x0 параллельна данной прямой, то kкас (x0 )= kпр =1.
Угловойкоэффициенткасательнойвискомойточкеравен y′(x ): |
|||||||||||||||||||||
( |
+1 ′ |
0 |
|||||||||||||||||||
2 |
′ |
x2 |
2x0 |
||||||||||||||||||
у′ = (ln (x |
+1)) = |
) |
= |
2x |
, у′(x0 )= |
, |
|||||||||||||||
x2 +1 |
x2 +1 |
x2 |
+1 |
||||||||||||||||||
2x0 |
2x0 |
0 |
|||||||||||||||||||
=1 |
−1 = 0 −x2 + 2x −1 = 0 |
(x |
−1)2 |
= 0 x =1. |
|||||||||||||||||
x2 + |
1 |
x 2 +1 |
|||||||||||||||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
||||||||||||||||||
0 |
0 |
||||||||||||||||||||
Найдем значение функции в точке x0 =1: y(1)= ln (12 +1)= ln 2. |
|||||||||||||||||||||
1; ln 2 |
). |
||||||||||||||||||||
Таким образом, точка имеет координаты ( |
|||||||||||||||||||||
Дифференциал функции |
|||||||||||||||||||||
Определение дифференциала |
|||||||||||||||||||||
Если функция |
y = f (x) дифференцируема в точке x0, то ее |
||||||||||||||||||||
приращение |
y = f (x0 + |
x)− f (x0 ) в этой точке представимо в |
|||||||||||||||||||
виде |
y = f ′(x0 ) |
x + ο( |
x) при |
x →0 . |
|||||||||||||||||
Дифференциалом функции |
y = f (x) в точке |
x0 называется |
|||||||||||||||||||
главная линейная относительно |
x часть приращения функции в |
||||||||||||||||||||
этой точке, равная произведению производной функции на приращение аргумента и обозначаемая dy (или df (x)): dy = f ′(x0 ) x .
Так как дифференциал независимой переменной x равен приращению этой переменной: dх = x′ x = x, то
dy = f ′(x0 )dx.
Геометрический смысл дифференциала
Дифференциал функции y = f (x) в точке x0 равен приращению ординаты касательной к графику функции в точке x0 , когда аргумент
получает приращение x.
y |
|
y |
dy |
x0 x0+ x x
72
Механический смысл дифференциала |
|||
Если S = S (t ) – закон прямолинейного движения точки, где S – |
|||
длина пути; t – время, t [t0 ; t0 + t], |
то dS(t) = S′(t)dt =V (t)dt, |
||
гдеV (t) – мгновенная скорость в момент времени t. Следовательно, |
|||
замена приращения |
s(t0 )= s(t0 + |
t) − s(t0 ) дифференциалом |
|
dS(t0 ) = S′(t0 )(t −t0 ) |
означает замену неравномерного движения |
||
равномерным (на бесконечно малом промежутке |
[t0 ; t0 + t]) |
||
с постоянной скоростью V (t0 ) = S′(t0 ).
Формула для приближенных вычислений
При малых значениях приращения аргумента y ≈ dy . Поэтому для приближенных вычислений пользуются формулой
f (x) = f (x + x)≈ f (x |
)+ f ′(x |
) x. |
|
0 |
0 |
0 |
|
Это означает линеаризацию функции y = f (x), т. е. ее замену линейной по x функцией y = f (x0 )+ f ′(x0 )(x − x0 ), что геометрически соответствует замене участка кривой y = f (x), примыкающего к точке (x0 ; f (x0 )), отрезком касательной к кривой в этой точке.
Дифференциал сложной функции
dy = y′xdx = yu′ u′xdx = yu′du.
Таким образом, формула для дифференциала одна и та же, независимо от того, является ли аргумент независимой переменной или нет. Это свойство называется инвариантностью формы
1-го дифференциала.
Дифференциалы высших порядков
Дифференциал от дифференциала функции y = f (x) называется дифференциалом второго порядка. Дифференциалом n-го по-
рядка называется дифференциал от дифференциала |
(n-1)-го по- |
||
рядка, n = 2, 3, ... . |
|||
Если x является независимой переменной, то |
|||
d 2 y = f ′′(x |
)dx2 , d n y = f (n) (x )dxn . |
||
0 |
0 |
||
Пример 1. Найти дифференциал функции y = 5tg x |
x . |
||
73