ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.05.2025
Просмотров: 1579
Скачиваний: 21
Если в точке устранимого разрыва функцию доопределить или значение сделать равным односторонним пределам, то функция в этой точке станет непрерывной.
Пример 1. Исследовать на непрерывность в точке x = 0 функ- |
|||||||
цию f (x)= sin x . |
|||||||
x |
|||||||
Решение. Здесь x0 = 0 – |
точка разрыва: в этой точке функ- |
||||||
ция |
не определена, |
существуют |
односторонние |
пределы |
|||
f (x |
− |
0)= f (−0)= lim sin x =1 и f (x |
+ 0)= f (+0)= lim sin x =1, |
||||
0 |
x→−0 |
x |
0 |
x→+0 |
x |
||
равные между собой. Точка |
x0 = 0 является точкой устранимого |
||||||
разрыва. Если эту функцию доопределить в точке x = 0 , то полу-
sin x |
, если x ≠ 0, |
||||
ченная функция |
x |
станет в точке |
x0 = 0 |
||
f (x) = |
|||||
1, |
если x = 0 |
||||
непрерывной (см. рис. 1.21).
y
1
–3π –2π |
–π |
0 |
π |
2π |
3π |
x |
Рис. 1.21. График функции y = |
sin x |
|||||
x |
||||||
Пример 2. Найти точки разрыва и определить их тип для |
||||||
x +1, |
если x < 0, |
|||||
если 0 ≤ x < 2, |
||||||
функции f (x) = x2 −1, |
||||||
если x ≥ 2. |
||||||
5 − x, |
||||||
Решение. Функция f (x) определена и непрерывна на интервалах (−∞; 0), (0; 2) и (2; +∞), т. к. на каждом из этих интервалов она задана элементарными функциями (свойство 2). Следовательно,
56
точками разрыва данной функции могут быть только те точки, в ко-
торых функция меняет свое аналитическое задание, т. е. точки x1 = 0 |
||||
и x2 = 2. Найдем односторонние пределы функции в точке x1 = 0: |
||||
f (0 − 0) = lim |
f (x) = lim |
(x +1) =1, |
||
x→0−0 |
x→0−0 |
( |
||
f (0 + 0) = lim |
f (x) = lim |
x2 |
−1 = −1. |
|
x→0+0 |
x→0+0 |
) |
||
Таккакодносторонниепределысуществуютиконечны, нонеравнымеждусобой, тоточка x1 =0 является точкойконечногоразрыва.
Для точки x2 = 2 находим:
f (2 − 0) = lim |
f (x) = lim |
(x2 |
−1)= 3; |
|||
x→2−0 |
x→2−0 |
|||||
f (2 + 0) = lim |
f (x) |
= lim |
(5 − x) = 3, f (2) = (5 − x) |
x=2 = 3. |
||
x→2+0 |
x→2+0 |
f (2 − 0)= f (2 + 0)= f (2). Следова- |
||||
Таким образом, |
имеем |
|||||
тельно, в точке x2 = 2 функция является непрерывной. График данной функции изображен на рис. 1.22.
y
3 |
||||||
1 |
||||||
–1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
5 |
x |
–1 |
x +1, если x < 0,
Рис. 1.22. График функции f (x) = x2 −1, если 0 ≤ x < 2,
5 − x, если x ≥ 2
Пример 3. Найти точки разрыва функции и определить их тип:
−3x, |
если x ≥ −1, |
|
f (x)= x |
, если x < −1. |
|
x + 4 |
||
57
Решение. Функция f (x) |
на интервалах |
(−∞; − 4), (−4;−1) и |
|||||
(−1; +∞) определена и непрерывна, т. к. она задана элементарными |
|||||||
функциями (свойство 2). |
|||||||
В точке x2 = −4 функция не определена, |
значит, точка x2 = −4 |
||||||
является точкой разрыва. Определим ее тип: |
|||||||
f (−4 − 0)= lim |
f (x) |
= lim |
x |
= +∞; |
|||
x + |
4 |
||||||
x→−4−0 |
x |
x→−4−0 |
|||||
f (−4 + 0)= lim |
= −∞. |
||||||
x + 4 |
|||||||
x→−4+0 |
|||||||
Следовательно, |
в точке x2 = −4 функция терпит бесконечный |
||||||
разрыв. |
|||||||
В точке x1 = −1 |
функция меняет свое аналитическое задание, |
||||||
следовательно, в этой точке возможен разрыв. Найдем односторонние пределы:
f (−1 − 0)= lim |
f (x)= lim |
x |
= −1 |
; |
||||
x + 4 |
||||||||
x→−1−0 |
x→−1−0 |
3 |
||||||
f (−1 + 0)= |
lim |
f (x)= lim |
(−3x)= 3, |
f (−1)= (−3x) |
x=−1 = 3. |
|||
x→−1+0 |
x→−1+0 |
|||||||
Так как |
f (−1 − 0)≠ f (−1 + 0), то точка x1 = −1 является точ- |
|||||||
кой конечного разрыва (рис. 1.23).
y
3
1 |
|||
–4 |
–1 |
||
0 |
1 |
x |
−3x, если x ≥ −1, |
|||
Рис. 1.23. График функции |
x |
||
f (x) = |
, если x < −1 |
||
x + 4 |
|||
58
Точки устранимого и конечного разрывов называют точками разрыва I рода.
Функция, которая на любом конечном интервале имеет конечное число разрывов I рода, называется кусочно-непрерывной
(на этом интервале). |
||
Если хотя бы один из односторонних пределов f (x0 − 0) или |
||
f (x0 + 0) не существует (рис. 1.24, точка x1 = 0 ) или равен беско- |
||
нечности, то точки разрыва называют точками разрыва II рода. |
||
Пример. Найти точки разрыва функции и определить их тип: |
||
f (x)= sin 1 . |
||
x |
f (x)=sin 1 определена для всех значений x, |
|
Решение. Функция |
||
x |
||
за исключением x = 0 . |
Точка x = 0 есть точка разрыва II |
рода, |
т. к. при x →0 как справа, так и слева значения функции |
sin 1 , |
|
x |
||
колеблясь между –1 и +1, не приближаются ни к какому числовому значению. Другими словами, односторонние пределы не существуют.
y
1
–1 |
–1 |
0 |
1 |
1 |
x |
π |
2π |
2π |
π |
–1
Рис. 1.24. График функции f (x) = sin 1x
59
1.3.2.Вопросы для самоконтроля
1.Что называется приращением функции y = f (x) в точке x0?
2.Дать определение непрерывности функции в точке x0.
3.Вчемсостоитсвязьмеждунепрерывностьюфункциивточкеx0
иее приращением в данной точке?
4.Дать определение непрерывной функции в точке x0 слева (справа).
5.Сформулировать критерий непрерывности в точке x0.
6.Сформулировать свойства функций, непрерывных в точке.
7.Сформулировать свойства функций, непрерывных на отрезке.
8.Какая точка называется точкой разрыва?
9.Какая точка называется точкой: устранимого, конечного, бесконечного разрыва?
10.Какие точки разрывов называют точками разрыва I рода?
11.Какие точки разрывов называют точками разрыва II рода?
1.3.3.Практический минимум
Исследовать на непрерывность в указанных точках следую- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
щие функции: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
f (x) = |
x +3 |
; x = −1, x = 3. |
2. f (x) = |
x +3 |
; x |
= 2, x |
= 3. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x +1 |
1 |
2 |
x − 2 |
1 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
f (x) = 3x + 2 |
; x = −3, x = 2. |
4. f (x) = |
x + 2 |
; x |
= 0, x |
=1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 −1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 − 4 |
1 |
2 |
1 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
f (x) = 2 |
x−1 |
−1 ; x = 2, x =1. |
6. f (x) = 2 |
−1 ; x =5, x = 4. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x−4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
1 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
f (x) = |
x −1 |
; x = 0, x =1. |
8. |
f (x) = |
x −1 |
; x |
= 0, x |
=1. |
||||||||||||||||||||||||||||||
x2 −1 |
x −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
1 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
f (x) = 2 |
x+1 |
; |
x |
= 0, |
x |
= −1. |
10. |
f (x) = 5x ; |
x |
= 0, x = −1. |
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
1 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. |
f (x) = |
3 |
; |
x |
=2, |
x =1. |
12. |
f (x) = |
1+ x3 |
; |
x |
= −1, |
x |
=1. |
|||||||||||||||||||||||||
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
1+ x |
1 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+2x−1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
f (x) = |
x2 −4 |
; |
x |
=−2, x =2. |
14. f (x) = |
x2 −4x +3 |
; x =1, x |
=2. |
||||||||||||||||||||||||||||||
x −2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
x2 +3x −4 |
1 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
60