Файл: Марченко_Высшая математика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 18.05.2025

Просмотров: 1580

Скачиваний: 21

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Найти точки разрыва, определить их тип и сделать схематический чертеж следующих функций:

10 − x, если x < 2,

15.

если x = 2,

f (x) = 3,

3

,

если x > 2.

x

2

− 4, если x < −3,

x

17.

f (x) = 5,

если x = −3,

− x,

если x > −3.

2

−1,

если x <1,

19.

− 2,

если x =1,

f (x) = x

2

,

если x >1.

3x

x + 4

,

если x < 4,

x

21.

если x = 4,

f (x) = −1

x,

если x > 4.

ex ,

если x ≤ 0,

23.

− x,

если 0 < x ≤1,

f (x) = 1

1

x −1, если x >1.

−1,

если x < 0,

25.

f (x) = cos x, если 0 ≤ x ≤ π,

− x,

если x > π.

1

2

,

если x <1,

x

16.

f (x) = 3,

если x =1,

если x >1.

x,

2

− 2, если x < −3,

x

18.

f (x) = 7,

если x = −3,

− x,

если x > −3.

4

x − 2,

если x <1,

20.

если x =1,

f (x) = −1,

2

,

если x >1.

3x

1 − x, если x ≤0,

22.

если 0 < x ≤ 2,

f (x) = 0,

x −3, если x > 2.

2,

если x < −1,

24.

− x,

если −1 ≤ x ≤1,

f (x) = 1

если x >1.

ln x,

3,

еслиx <−1,

26.

− x,

если −1≤ x ≤1,

f (x) = 2

+ln x, еслиx >1.

3

Минимум для аудиторной работы

Исследовать на непрерывность в указанных точках следующие функции: 1; 7; 9; 12.

Найти точки разрыва, определить их тип и сделать схематический чертеж следующих функций: 15; 17; 19; 21.

61

1.3.4.Ответы

1.x1 = −1 – точка бесконечного разрыва; x2 =3 – точка непрерывности функции. 2. x1 = 2 – точка бесконечного разрыва; x2 =3 – точка непрерывности функции. 3. x1 = −3 – точка непрерывности функции; x2 = 2 – точка бесконечного разрыва. 4. x1 = 0 – точка

непрерывности функции; x2 =1 – точка бесконечного разрыва. 5. x1 = 2 – точка непрерывности функции; x2 =1 – точка бесконечного разрыва. 6. x1 = 5 – точка непрерывности функции; x2 = 4 – точка бесконечного разрыва. 7. x1 = 0 – точка непрерывности функции; x2 =1 – точка устранимого разрыва. 8. x1 = 0 – точка непрерывности функции; x2 =1 – точка конечного разрыва. 9. x1 = 0 – точка непрерывности функции; x2 = −1 – точка бесконечного разрыва. 10. x1 = 0 – точка бесконечного разрыва; x2 = −1 – точка непрерывности функции. 11. x1 = 2 – точка непрерывности функции; x2 =1 – точка конечного разрыва. 12. x1 = −1 – точка устранимого разрыва; x2 =1 – точка непрерывности функции. 13. x1 = −2 – точка непрерывности функции; x2 = 2 – точка устранимого разрыва. 14. x1 =1 – точка устранимого разрыва; x2 = 2 – точка непрерывно-

сти функции. 15. x = 2 – точка устранимого разрыва. 16. x =1 – точка устранимого разрыва. 17. Функция не имеет точек разрыва. 18. Функция не имеет точек разрыва. 19. x =1 – точка конечного разрыва. 20. x =1 – точка конечного разрыва. 21. x1 = 0 – точка

бесконечного разрыва; x2 = 4 – точка устранимого разрыва. 22. x1 = 0 – точка конечного разрыва; x2 = 2 – точка конечного разрыва. 23. x1 = 0 – точка непрерывности функции; x2 =1 – точка

бесконечного разрыва. 24. Функция не имеет точек разрыва. 25. x1 = 0 – точка конечного разрыва; x2 = π – точка конечного

разрыва. 26. x1 = −1 – точка непрерывности функции; x2 =1 – точка конечного разрыва.

62

Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

2.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

ÈТЕХНИКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

2.1.1.Теоретический минимум

1.Определение производной. Дифференцируемость функции.

2.Техника дифференцирования.

3.Производные функций, заданных параметрически.

4.Производные функций, заданных неявно.

5.Логарифмическое дифференцирование.

6.Геометрический и физический смысл производной.

7.Дифференциал функции.

8.Теоремы о дифференцируемых функциях.

9.Правило Лопиталя.

Определение производной. Дифференцируемость функции

Пусть

функция y = f (x) определена на некотором интерва-

ле (a;

b).

Выберем точку x0 (a; b). Выберем другую точку

x = x0 +

x (a; b). Величина x = x − x0 называется прираще-

нием аргумента. Найдем соответствующее приращение функции

y= f (x0 + x) – f (x0 ) = f (x) − f (x0 ).

Производной функции y = f (x) вточке x0 называется предел от-

ношения приращения функции y = f (x0 +

x) – f (x0 ) к приращению

аргумента x при

x → 0, если этот предел существует и конечен:

f ′(x0 )= lim

y

= lim

f

(x0 + x)− f (x0 )

= lim

f

(x)− f

(x0 )

.

x

x

x − x0

x→0

x→0

x→x0

Производная

f ′(x ) существует, если существуют и равны

0

f ′(x )

= f ′(x

),

конечные односторонние производные в точке x0:

f (x)− f (x0 )

+

0

−

0

где f+′(x0 )=

lim

– правосторонняя

производная,

x − x

x→x0

+0

f−′(x0 )= lim

f (x)− f (x0 )

0– левосторонняя производная.

x − x0

x→x0 −0

63

Если для некоторого значения x0 выполняется одно из условий:

lim

y = +∞ или lim

y = −∞, то в точке x0 существует бесконеч-

x→0

x

x→0

x

ная производная, равная соответственно +∞, –∞.

Для обозначения производной функции y = f (x) используют

символы: y′,

f ′(x), y′x , dy ,

df (x)

.

dx

dx

Схема нахождения производной представлена в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Схема нахождения производной функции по определению

Этапы

Пример для функции f (x) = 2x − 7x2

1. Придать фиксированному зна-

f

(x0 +

x) = 2(x0 +

x)− 7 (x0 + x)2

чению x0 D (x) приращение x

и

вычислить

значение

функции

f

(x0 +

x)

2. Найти

приращение

функции

y = 2(x0 +

x)− 7 (x0 +

x)2 −

y = f (x0 + x) – f (x0 )

−

(2x0 − 7x02 )= 2x0 + 2 x−7x02 −14x0 x −

−7 ( x)2 −2x0 +7x02 = 2 x −14x0 x − 7 ( x)2

3. Составить отношение

y

y = 2

x −14x0 x − 7 (

x)2

=

x

x

х

=

x (2 −14x0 − 7 x)

= 2

−14x − 7 x

х

0

4. Найти lim

y

= y′

y′ = lim

(

2 −

14x − 7

x

)

= 2

−14x

x

x→0

0

0

x→0

Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке, а операция нахождения производной называется дифференцированием.

Функция, имеющая конечную производную в каждой точке данного промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

Связь дифференцируемости и непрерывности функции

Если функция дифференцируема в данной точке, то она непрерывна в ней.

Обратное утверждение неверно, т. е. если функция непрерывна в точке, то она может быть не дифференцируемой в этой точке.

64

Смотрите также файлы