Файл: Марченко_Высшая математика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 18.05.2025

Просмотров: 1576

Скачиваний: 21

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2.1.3. Практический минимум

Определение производной

Найти производную по определению:

1.

y = 7 + 4x .

2.

y = cos3x .

3.

y =

1

.

4.

y =

2

.

x2

+3

x −6

5.

y =8x + 4 −3x2 .

6.

y = sin 2x .

Техника дифференцирования

Найти производную первого порядка, пользуясь таблицей и правилами дифференцирования:

7. y = sin xcos x.

9. y = arcsin xarccos x. 11. y = arcctgarctg xx − tg π3 .

y =

4x

x

+

x2

13.

x

.

4

3

x

15. y = (2 − x2 )cos x + 2xsin x. 17. y = 5 x (4x3 − 2x2 +9).

19.

y =

2

+5x2

(3

x +8x).

x

21.

y =

cos x

.

sin x + cos x

23. y =

ctg x

.

2sin x

8.

y =

xln x

+ln 5.

ex

10. y = x1010x.

12.

y = 2x log2 x + log2 4.

14.

y =

x4 + 6x

.

x5 −3x2 +

8

16.

y = cos x ln x.

18.

y = x11 tg x −

x3 −ln8.

20.

y =

x −3

.

x2 + 4

22.

y =

5x

.

6x5 +1

24.

y = 3 x4 arctg x − x3 ln x .

Найти производную первого порядка, пользуясь таблицей, формулами производной сложной функции и правилами дифференцирования:

25.

y =

sin x.

26.

y = arccos 1 −3x.

27.

y =

x −1

4

28.

y = 1 + ln x.

.

x +1

79

x2

29.y = 5 3 x.

31.

y = x 10arcsin 2 x.

33.

y =

1

.

3 tg2 7x

35.

y = arctg2 ln (3x + 4).

37.

y =(arcsin 5x )3 .

30. y = ln4 (sin x).

32. y = sin2 x sin x2.

34. y = sin2 x . 2cos x

36. y = arctg(x2 ) e3x .

=sin 7 x

38.y ln (2x).

39.

y =

x3

−8

.

x

+1

41.

y = ln (cos 2x ).

43.

y = arcctg(3x3 ).

45. y = 1x esin x−x4 + x +ln x.

47. y =sin2 2x ctg 3x + tg π8 .

40. y = cos2 ln5(tg x).

42. y = tg xx . e

3x

44.y = 21+x.

46. y = 1 −35x2 .

48.y = 3 1+ tg x + 1 .

x

Найти производные указанных порядков:

49.

y = tg x,

y′′′.

50.

y =

2

,

y(4).

x

51.

y = e

x2

,

y′′′.

52.

y = x

3

ln x,

y

′′′

.

53.

y = sin2

x

, y(4).

54.

y =

3

,

y(4).

2

2 −3x

55.

y = arcsin x,

′′′

56.

y = ln (x

2

−

5),

′′′

y .

y .

Производные функций, заданных параметрически

Найти y′x :

x(t )= t ln t,

58.

x(t )= t,

57.

ln t

t.

.

y(t )= 3

y(t )=

t

80

−t

x(t) = e

cost,

59.

y(t)= e−t sin t.

2

t

x(t )= cos

,

61.

sin t

y(t )= cost.

Найти y′′xx :

( ) ( )

x t = ln t2 +1 , 63.

y(t )= t2.

x(t )= 1 ,

65. cost

y(t )= tg t.

60.

x(t )= 3 1 − t ,

y(t )= 1 − 3 t .

x(t )=

3at

,

3

62.

1 +t

2

y(t )=

3at

.

3

1 +t

x(t)= at2 ,

64. y(t)=bt3.

x(t )= arcsin t,

66.

−t2 .

y(t )= 1

Производные функций, заданных неявно

Найти y′x :

67.

2

2

2

x

3

+ y

3

= a

3

.

69.

x3 + y3 −9xy = 0.

71.

(x2 + y2 )2 = 2a2 (x2 − y2 ).

73.

3 x + 3 y = xy.

Найти y′′xx :

74.

y = x + ln y.

76.

ey

+ y + ln x = 5.

78.

5x − 2 y2 −3xy + x2 = 0.

80.

x3 + 6x2 y + 2 y3 = 0.

68.

ex sin y −e−y cos x = 0.

70.

y2 =

x3

.

2a − x

72.x2 + y2 = arctg y .

x

75. y3 − y = 6x2. 77. y = x + arctg y.

79. x2 + y2 =1.

4 9

Логарифмическое дифференцирование

Найти производную первого порядка:

81.

y = xtg x.

82.

y =(cos x)ln x .

y = (4 x )

arcsin x

1

83.

.

84.

y =(x2 −6x)x .

81

85.

y = 5 (x2 − 4) 3 2 + x .

86.

y =

(1− x)3 (7 + x)2 .

6x + x3

(2 +3x)ex

87.

y =(cos x)x .

88. y = (x + 2)(ln x).

89.

y =(2x − x3 ) (ecos x −3x) 3 (7 + x).

Геометрический и физический смысл производной

Найти уравнения касательной и нормали для следующих кривых в точке с абсциссой x0 :

90.

y = x −

1

,

x0

=1.

91.

y = 2 − x − x2 ,

x0 = 2.

x

92.

y = x ln x ,

x0

= e.

93.

y =

x3 +3x2

, x0 =1.

94.

y = x −ln (1+ x2 ),

x0 = 0.

95.

y = 2x3 −7x2 +8, x0 = 2.

96.

y = sin 3x −5

, x0 =

π.

97.

y =

x2

, x

= 2.

x3 − 4

2

0

98.При каких значениях независимой переменной касательные к кривым y = x2 и y = x3 параллельны?

99.В каких точках касательная к кривой y = 2x3 −5 параллельна прямой 4 y −6x + 6 = 0 ?

Найти, в каких точках и под каким углом пересекаются кривые:

100.y = x2 − 4x + 4 и y = 6x − x2 − 4.

101.y = x и y = x2.

102.

Свободно падающее тело движется по закону

s =

gt2

2

(g = 9,8 м/c2). Найти:

а) среднюю скорость движения тела за промежуток времени от t = 5 с

до (t + t) с, где t = 1 с; 0,05 с; 0,01 с;

б) скорость тела в конце 5-й секунды.

103.Точка движется по закону s(t )= 2t3 −t2 +1. В какой момент времени она остановится?

104.Показать, что если тело движется по закону s = aet + be−t , то его ускорение численно равно пройденному пути.

82

Смотрите также файлы