Файл: Марченко_Высшая математика.pdf

Точки области определения функции y = f (x), в которых ее производная равна нулю (стационарные точки) или не существует, называются критическими точками (точками, подозрительными на экстремум) функции. Функция может иметь экстремум лишь в критических точках.

Первый достаточный признак экстремума

Пусть функция y = f (x) непрерывна в точке x0 и дифференцируема в некоторой ее окрестности, за исключением, может быть, самой точки x0 . Тогда если при переходе слева направо че-

рез точку x0 производная меняет знак c «−» на «+», то x0 явля-

ется точкой строгого минимума; если знак меняется с «+» на «−», то точка x0 является точкой строгого максимума.

Производная в точке меняет знак с «−» на «+» (с «+» на «−»), если в некоторой левосторонней (правосторонней) окрестности этой точки производная отрицательная, а в правосторонней (левосторонней) окрестности – положительная.

y ' не существует

y ' = 0

88

Примеры критических точек, не являющихся точками экстремума

Схема исследования функции на экстремум с помощью первой производной

Исследование на экстремум включает следующие этапы:

1)находим область определения функции y = f (x) и интервалы непрерывности;

2)находим первую производную f ′(x);

3)находим критические точки (производная равна нулю или не существует) и наносим их вместе с точками разрыва на числовую прямую. Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная сохраняет знак;

4)определяем знак производной в каждом из полученных интервалов (для этого достаточно определить знак в какой-нибудь точке интервала); если производная больше нуля, то это интервал строгого возрастания функции, если же производная меньше нуля – интервал строгого убывания;

5)устанавливаем, как меняется знак производной в окрестно-

сти каждой критической точки: если при переходе слева направо

через точку x0 производная меняет знак с «−» на «+», то x0 явля-

ется точкой строгого минимума; если знак меняется с «+» на «−», то точка x0 является точкой строгого максимума;

6)вычисляем значения функции (экстремумы) в точках максимума и минимума и строим эскиз графика функции в окрестности каждой критической точки.

Схема исследования на экстремум с помощью второй производной

В основу положен второй достаточный признак экстремума:

1)находим первую производную f ′(x) и точки, в которых она равна нулю (стационарные точки);

89

2) находим вторую производную f ′′(x) и определяем ее знак в каждой стационарной точке x0. Если f ′′(x0 )< 0 , то x0 − точка строгого максимума, если f ′′(x0 ) > 0, то x0 − точка строгого минимума.

В случае f ′′(x0 )= 0 можно воспользоваться первой схемой. Пример исследования функции на монотонность и экстрему-

мы приведен в табл. 2.6.

Таблица 2.6

Пример исследования функции на монотонность и экстремумы

90

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Точки наибольшего и наименьшего значений функции на некотором множестве Х, в частности на отрезке, называются точками глобального, или абсолютного, экстремума этой функции на этом множестве.

Функция, непрерывная на отрезке [a; b], достигает своего наибольшего и наименьшего значений на этом отрезке либо в критических точках, принадлежащих отрезку, либо на его концах.

Например:

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a; b]

1.Находим критические точки функции y = f (x), принадлежащие интервалу (a; b).

2.Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка.

3.Изполученныхзначенийвыбираемнаибольшееинаименьшее. Пример нахождения наибольшего и наименьшего значений

функции приведен в табл. 2.7.

Таблица 2.7

Пример нахождения наибольшего и наименьшего значений функции

91