Файл: Марченко_Высшая математика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 18.05.2025

Просмотров: 1582

Скачиваний: 21

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Дифференциал функции

Найти приращение и дифференциал функции y = f (x) в точке x0 при x = 0,1. Найти абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции дифференциалом:

105.

y =

1

, x0 = 4.

106.

y = 4x − 2x3 , x0 =1.

x

107.

y =

x −1

,

x0 = 2.

2 + x2

Найти дифференциал функции:

108.

y = e 1−x2 + arcsin x.

109.

y = sin2 x.

110.

y = (

x )x3 .

111.

y = 4x2 ln x.

112.

2 y2 − 4 y −3x2 + 6x = 0.

113.

y = ln3 (7x2 −8x).

y = (ln x)(3 x

4

−2 x).

115.

x(t )= 4t3 ,

+ 4).

114.

y (t )= ln (t2

Вычислить приближенно:

116.

y = 5

2 − 0,15

117.

y = lg11.

2 + 0,15 .

118.

y = 5 33.

119.

y = sin151°.

Правило Лопиталя

Найти пределы:

120.

lim

5

x −1

.

3

x −1

x→1

122.

5

lim xsin

.

x→∞

x

124. lim x − tg x . x→0 x −sin x

1

126. lim(cos x)x2 .

x→0

128. lim ln cos x2 . x→0 ln cos3x

130. lim 1 tg x .

x→+0 x

121.

lim ln sin x .

x→+0 lntg x

123.

1

lim x e x

−1 .

x→∞

125.

1

lim

ctg x −

.

x→0

x

sin x

127.

−

1

lim

.

−

1

x→1

x

ln x

129.

lim cos x −1 + sin 2x .

x→0 2ex − 4 − x2

131.

lim

1

ctg x −

.

x→0

x

83

Минимум для аудиторной работы

Определение производной: 1; 2.

Техника дифференцирования: 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 31; 32; 33; 34; 35; 49; 50; 51; 52.

Производныефункций, заданных параметрически: 57; 58; 63; 64. Производные функций, заданных неявно: 67; 68; 69; 74; 75; 76. Логарифмическое дифференцирование: 81; 82; 83; 85.

Геометрический и физический смысл производной: 90; 92; 93; 98; 100; 102.

Дифференциал функции: 105; 108; 109; 111.

Правило Лопиталя: 116; 117; 118; 120; 121; 122.

2.1.4. Ответы

1. 4.

2. –3sin3x.

3.

−2x

.

7. cos 2x.

8.

1 +(1 − x)ln x

.

(x2 +3)2

9. arccos x − arcsin x .

ex

10. x9 10x (10 + xln10).

11.

π

.

2 1 + x

2

)

arcctg

2

x

1 − x

2

(

Указание: arctg x +arcctg x =

π.

12. 2x

ln x +

1

. 13. 54

x +

5 3

x2 .

xln 2

3

2

14.

−5x8

−30x5

+24x3 +36x2 +48

. 15. x

2

sin x. 25.

cos x

. 26.

3

.

(

2

5

−3x

2

+8

2 sin x

2 3x −9x

2

x

)

x −1 3

2

1

x2

2x2 ln 5

27. 4

.

28.

.

29. 5 3

+1 .

(x +

1)

2

3

x

+1

2x 1 + ln x

3

arcsin2x

2xln10

2

2

2

30. 4ctgxln sin x. 31. 10

1+

.

32. sin2xsin x +2xsin

xcos x .

2

1−4x

33.

−14

. 34.

sin x(cos2 x +1)

. 35.

6arctg(3x + 4)

.

3

3

sin

5

7x cos 7x

2cos

2

x

1 + ln

2

(3x

+ 4)

)

(3x +

4)

(

49.

2 + 4sin2 x

.

50.

105

.

51. e

x2

12x +

8x

3

)

.

52.

6ln x +11.

cos4 x

8

x9

(

2

53. −1 cos x .

57.

1 − ln t

.

58.

.

59. sin t −cost .

63. t2 +1.

2

6

2

t

(

ln t +1

3

t

sin t

+

cost

)

84

64.

3b

.

67.

−3

y

.

68. −

ex+y sin y +sin x

.

69.

3y − x2 .

4a2t

x

ex+y cos y + cos x

y2 −3x

70.

x2 (3a − x)

. 74.

−y

.

75. 12 (3y2 −1)2 −72x2 y . 76. e2 y

+ ey +1.

(y −1)3

y(2a − x)2

(

3y2 −1

3

x2

(

ey

+1 3

)

)

)

−2 1+ y2

tg x ln x

tg x

ln x

ln cos x

77.

(

. 81.

x

+

82.

(cos x)

− tg xln x

.

.

y5

x

x

x

cos2

ln(x

−6x)

arcsin x

ln x

+ arcsin x .

1

2x −6

2

83.

1 x

4

84.

(

x2

−6x

)

x

−

.

4

1− x

2

x

2

(x

−6)

x

2

x

5 (x

2

−4)

3

2 + x

2x

1

6 +

3x

2

2 + x)−

85.

6x + x3

5(x2 −4)+15(

5x(6 + x2 ) .

90. Уравнение

касательной 2x − y −2 =0; уравнение нормали x +2y −1 =0. 91. Уравнение касательной 5x + y − 6 = 0; уравнение нормали x −5y −22 =0. 92. Уравнение касательной 2x − y − e = 0; уравнение нормали x + 2y −3e =0. 93. Уравнение касательной 4 y −9x +1 = 0; уравнение

нормали 4x +9y −22 =0. 98.

x1 =0, x2

=

2

. 99.

1

; −4

3

−

1

; −5

1

3

2

4

,

2

4

.

Указание: если прямые параллельны, то их угловые коэффициен-

ты равны: k1 = k2. 100. (1;1), (4; 4),

tg α = tg α

2

= 6

. Указание:

1

7

угол пересечения кривых – это угол между касательными, прове-

денными

к кривым в точке

их

пересечения,

tg α =

k1 − k2

.

1 + k k

2

1

102. а) vср = 53,9;

49,245;

49,049

м/с;

б) v = 49

м/с.

105.

y ≈ –0,006;

dy ≈ –0,007;

εабс ≈ 0,001;

εотн ≈ 0,143.

106.

y = –0,262;

dy = –0,2;

εабс = 0,062;

εотн ≈ 0,237.

1−xe

1−x2

x dx. 110. dy = 1 x

x3

108. dy =

dx. 109. dy =sin2

+2 (3ln x +1)dx.

2

2

2 x

2

1−x

111. dy = 4x2

2xln 4ln x +

1

dx. 116. 0,97. 117. 1,043. 120.

3

. 121. 1.

x

5

122. 5.

123. 1.

124. –2.

125. 0.

85

2.2.ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ÈПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

2.2.1.Теоретический минимум

1.Возрастание и убывание функции.

2.Максимум и минимум функции.

3.Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

4.Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба.

5.Асимптоты графика функции.

6.Общая схема исследования функции и построения графика.

Возрастание и убывание функции

Одним из приложений производных является применение их к исследованию функции и построению схемы графика функции.

Условия возрастания и убывания функции

Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a; b) функция y = f (x) не убывала (не возрастала) на этом интервале, необ-

ходимо и достаточно, чтобы ее производная была во всех точках

интервала неотрицательной, т. е.

f ′(x)

≥ 0 (неположительной,

т. е. f ′(x)≤ 0).

f ′(x)> 0 ( f ′(x)< 0), то

Если во всех точках интервала (a; b)

функция y = f (x)

возрастает (убывает) на интервале (a; b).

Функция y = f (x) постоянна на интервале (a; b)

тогда и только

тогда, когда

f ′(x)

= 0 в каждой точке этого интервала.

′

> 0

y′ = tgα

′

y

y < 0

y

y

α

α

0 a

b

x

0

a

b x

0° < α < 90°

90° < α <180°

Возрастающая функция

Убывающая функция

86

Невозрастающие, неубывающие, возрастающие и убывающие функции называются монотонными (иногда строго монотонными для возрастающих и убывающих).

Максимум и минимум функции

Точка x0 называется точкой локального максимума (мини-

мума), если существует такая окрестность точки x0 , что для всех

точек

x ≠x0

из этой окрестности выполняется

неравенство

f (x)≤ f (x0 )

(соответственно f (x)≥ f (x0 )).

x ≠x0 выпол-

Если в окрестности точки x0

для всех точек

няется

неравенство f (x)< f (x0 )

(соответственно

f (x)> f (x0 )),

то точка x0 называется точкой строгого локального максимума (минимума).

Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в этих точках –

экстремумами функции.

В точках экстремума и только в них для достаточно малых x приращение функции y = f (x)− f (x0 ) не меняет знака при переходе аргумента через рассматриваемую точку x0 : y ≥ 0 в случае минимума и y ≤ 0 в случае максимума.

y

y

f (x )

f (xmin )

max

0

xmax

x

0

xmin

x

Точка строгого максимума

Точка строгого минимума

Функцияможетиметьлокальныйэкстремумлишьвовнутренних точкахобластиопределения. Слово«локальный» частоопускают.

Необходимое условие экстремума

Если функция y = f (x) имеет в точке x0 экстремум, то производная в этой точке равна нулю или не существует.

87

Смотрите также файлы