Файл: Марченко_Высшая математика.pdf

Окончание табл. 2.7

Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба

Функция y = f (x) называется выпуклой (вогнутой) на интервале (a; b), если любая дуга ее графика (отвечающего этому интервалу) расположена не выше (не ниже) стягивающей дугу хорды. Так, функция y = x2 выпукла, а y = −x2 вогнута на всей числовой оси.

Дифференцируемая функция выпукла (вогнута) на интервале, если ее график расположен не ниже (не выше) любой касательной к нему. Иногда для выпуклой (вогнутой) функции используется термин выпуклая вниз, вогнутая вверх (выпуклая вверх, вогнутая вниз).

Точки непрерывности функции, в которых меняется выпуклость на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба функции. Если x0 − точка перегиба функции y = f (x), то точка (x0 ; f (x0 )) называется точкой перегиба графика этой функции. В окрестности точки перегиба график дифференцируемой функции лежит по разные стороны касательной к графику в точке перегиба.

Достаточные условия выпуклости и вогнутости функции

Если вторая производная f ′′(x)≥ 0 ( f ′′(x)≤ 0) во всех точках интервала (a; b), то функция y = f (x) выпукла (вогнута) на этом интервале. Если эти неравенства строгие, то и выпуклость (вогнутость) будет строгая.

92

f ′′(x) > 0

f ′′(x)< 0

Схема исследования функции на выпуклость и отыскания точек перегиба

Схема следует из достаточных условий:

1)находим область определения функции y = f (x);

2)находим вторую производную f ′′(x) функции и точки из области определения, в которых вторая производная равна нулю

или не существует, отмечаем их на числовой прямой. Они разбивают область определения на интервалы, в которых f ′′(x) сохраняет знак;

3)определяем знак второй производной в каждом интервале

(для этого достаточно определить знак в какой-либо точке каждого интервала). Если в рассматриваемом интервале f ′′(x)< 0, то в этом интервале функция вогнута, если f ′′(x)> 0, то функция выпукла;

4)среди точек, в которых функция непрерывна, а вторая производная равна нулю или не существует, определяем те, при переходе через которые вторая производная меняет знак. Эти точки являются точками перегиба.

Пример исследования на выпуклость и точки перегиба представлен в табл. 2.8

93

Таблица 2.8

Пример исследования на выпуклость и точки перегиба

Асимптоты графика функции

Под асимптотой кривой понимают прямую, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Различают асимптоты вертикальные (параллельные оси Оу), горизонтальные (параллельные оси Ох) и наклонные.

Прямая x = a называется вертикальной асимптотой гра-

фика функции y = f (x), если хотя бы один из односторонних пределов в точке x = a равен плюс (или минус) бесконечности, т. е.

асимптот нужно отдельно рассматривать случаи x → +∞ и x → −∞. Если пределы различные, то график функции имеет более одной наклонной асимптоты.

94

Если k = 0, то b = lim f (x). Поэтому y = b − уравнение гори-

x→±∞

зонтальной асимптоты, т. е. горизонтальную асимптоту можно рассматривать как частный случай наклонной.

Примеры возможного расположения графика относительно вертикальной асимптоты

y

А

Прямые x = a и x = c − двусторонние вертикальные асимптоты, прямая x =b − левосторонняя асимптота.

Пример нахождения асимптот графика функции дан в табл. 2.9.

95

Окончание табл. 2.9

Общая схема исследования функции и построения графика

Процесс исследования функции y = f (x) и построения графика можно условно разбить на следующие этапы:

1)предварительное исследование зависимости y = f (x);

2)исследование по первой производной;

3)исследование по второй производной;

4)построение схемы графика с учетом полученных результатов.

Целесообразно результаты исследования сопровождать

последовательным построением схемы графика.

Рассмотрим эти этапы подробнее. На 1-м этапе необходимо:

а) найти область определения функции и интервалы непрерывности;

б) если есть точки разрыва, найти односторонние пределы функции в этих точках и изобразить на чертеже поведение функции вблизи каждой точки разрыва;

96