ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.05.2025
Просмотров: 1572
Скачиваний: 21
5. Как найти наклонные асимптоты графика функции?
6. Дайте определение точки локального минимума функции.
7. Что можно сказать о приращении функции в достаточно малой окрестности точки локального максимума?
8. Что можно сказать о производной дифференцируемой функции в точке экстремума? В окрестности точки экстремума?
9. Какие точки называются критическими?
10. |
Опишите схему исследования функции на экстремум. |
11. |
Функция y = f (x) дифференцируема на интервале (a; b) |
и f ′(x)> 0. Что можно сказать о поведении функции на интервале? |
|
12. |
Функция y = f (x) убывает на интервале (a; b) и имеет |
производную в каждой точке интервала. Что можно сказать о производной функции на (a; b) ?
13. Как найти интервалы возрастания и убывания (интервалы монотонности) функции?
14. Будет ли точка x = 0 критической для функции y = sinx x ?
15. Какая функция называется выпуклой (вогнутой)?
16. Что можно сказать о второй производной дважды дифференцируемой выпуклой на интервале (a; b) функции?
17. Как найти интервалы выпуклости и вогнутости функции?
18. Какая точка называется точкой перегиба графика функции? 19. Чему равна вторая производная функции в точке перегиба? 20. Что можно сказать о второй производной функции в окрест-
ности точки перегиба?
21. Что можно сказать о касательной в точке перегиба графика функции?
22. Опишите схему нахождения точек перегиба.
2.2.3. Практический минимум
Найти экстремумы функции: |
|||||||
1. |
y = 2x3 −15x2 +36x −14 . |
2. y = (x −1)e3x . |
|||||
3. |
y = ln |
2 |
x . |
4. |
2 |
+1, x ≠ 0, |
|
y = x |
|||||||
x |
2, x = 0. |
||||||
5. |
y = (x + 2)2 (x −3)3 . |
6. |
y = x ln x . |
||||
101
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
7. |
y = x3 −6x2 +9, x [−1; 2] . |
||||||
9. |
y = x + 1 |
, x [1; 2] . |
|||||
x |
|||||||
11. |
π |
||||||
y = sin x + cos x, x 0; |
2 |
. |
|||||
[ |
|||||||
13. |
y = 3x4 |
+ 4x3 + 9 , x |
] |
||||
−2; 1 . |
|||||||
8. y = x − 2 x, |
x [0; 5]. |
||
10. |
y = x −ln x, |
x [1; e] . |
|
12. |
y = (x +1)ex , |
x [−3; −1]. |
|
14. |
y = 25 − x2 , |
x [−3; 4]. |
|
Исследовать функцию и построить ее схематический график: 15. y = x3 + x. 16. y = x4 − 4x − 2.
17. |
y = (x + 2)2 (x −1)2 . |
|||
19. |
y = |
x |
. |
|
1 − x2 |
||||
21. |
y = |
2x |
. |
|
x2 −4 |
||||
23.y = x3 .
x−1
25.y = xe−2 x .
27. |
y = (x −3)x2. |
||||
29. |
y = (x −1)(2x +3)2. |
||||
31. |
y = |
x3 |
. |
||
x2 |
−1 |
||||
33. |
y = xln x. |
||||
35. y = 1x ln2 x.
−x2
37.y = xe 2 .
18. |
y = |
2x − x2 . |
||||||
20. |
y = |
1+ |
1 |
. |
||||
x2 |
||||||||
22. |
y = |
x2 |
. |
|||||
(x −1)3 |
||||||||
24. |
y = x2e−x . |
|||||||
26. |
y = ln(4x − x2 ). |
|||||||
28. |
y =8x3 − x4. |
|||||||
30. |
y = |
1 |
. |
|||||
(x + 2)(x − 4) |
||||||||
32. |
y = |
3x −2 . |
||||||
x2 |
||||||||
34. |
y = x − ln(x +1) . |
|||||||
36. |
y = x2e−2 x . |
|||||||
−1
38.y = e x .
Минимум для аудиторной работы
Найти экстремумы функции: 1; 2; 3.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: 10; 11; 14.
Исследовать функцию и построить схематический график: 18; 23; 31; 34; 38.
102
2.2.4. Ответы |
|||||||||
1. |
ymax = y(2) =14, |
ymin = y(3) =13. |
2. ymin |
2 |
e2 |
. |
|||
= y |
3 |
= − |
3 |
||||||
= y(1)=0, ymax = y(e2 )= 4e−2. 7. yнб = y(0)=9, |
|||||||||
3. |
ymin |
yнм = y(2)= −7. |
|||||||
8. |
yнб = y(5)=5 −2 5, yнм = y(1)= −1. 9. yнб = y(2)=2,5, yнм = y(1)= 2. |
||||||||
10. yнб = y(e) = e −1, yнм = y(1) =1. |
|||||||||
15.Функция определена и непрерывна при всех значениях
x\. Функция нечетная, т. к. y(−x) = −y(x), и график симметричен относительно начала координат. Асимптот нет. Точек экстре-
мума нет, т. к. производная y′ = 3x2 +1 > 0. Вторая производная y′′ = 6x обращается в нуль при x = 0 ( y = 0) и при переходе через эту точку меняет знак с минуса на плюс. Значит, точка х = 0 является точкой перегиба. При переходе через точку функция меняет вогнутость на выпуклость.
16.Функция определена и непрерывна при всех значениях
x\. Асимптот нет. В точке (0; − 2) график пересекает ось Оу. Точка x =1 − точка минимума, y(1) = −5. Точек перегиба нет (вторая производная больше нуля). Функция всюду выпукла.
17.Функция определена и непрерывна при всех значениях
x \. Точки экстремума: x = −2 и x =1 − точки минимума, x =−12 −
точка максимума, ymin =y(−2)=0, ymin = y(1)=0, |
ymax |
= y |
− |
1 |
= |
81 |
. |
|||
2 |
16 |
|||||||||
1 |
||||||||||
График функции пересекает ось Ох в точках |
x1,2 |
= |
(−1 ± |
3 ). |
||||||
2 |
||||||||||
Асимптот нет.
18. Функция определена, непрерывна и принимает неотрицательные значения (корень арифметический) на отрезке [0; 2].
На концах отрезка значения функции равны нулю. Точки экстремума:
′ |
1 − x |
|||
y |
= |
2x − x2 = 0, x =1 − точка максимума, y(1)=1. Точек перегиба |
||
нет (вторая производная отрицательная). Функция всюду вогнута. 19. Область определения функции описывается неравенством
1 − x2 > 0 x2 <1 −1 < x <1 x <1. Функция нечетная, гра-
103
фик симметричен относительно начала координат, y (0) = 0. Пря-
мые x =1 и x = −1 − вертикальные асимптоты: график функции приближается к асимптоте x =1 только слева, а к асимптоте x = −1 только справа. Точек экстремума нет. Точка перегиба х = 0. При переходе через точку перегиба функция меняет вогнутость на выпуклость.
20. Функция определена, непрерывна и принимает положительные значения при всех x ≠ 0. Функция четная, и график симметричен относительно оси Оу. Кривая имеет две асимптоты: вертикальная – ось Оу, горизонтальная − y =1. К горизонтальной
асимптоте график приближается сверху при x →−∞ |
и при |
x → +∞. Точек экстремума нет. Функция возрастает при |
x < 0 и |
убывает при x > 0. Точек перегиба нет. Функция всюду выпукла.
21. Функция определена и непрерывна при всех x ≠ ±2 . Пря- |
||
мые |
x = 2 и |
x = −2 − вертикальные асимптоты. Функция нечет- |
ная, |
т. к. y ( |
−x) = −y (x); y (0) = 0. Ось Ох – горизонтальная асим- |
птота. Точка перегиба х = 0. При переходе через точку перегиба функция меняет выпуклость на вогнутость.
22.Функция определена и непрерывна при всех x ≠1. Прямая
x=1 − вертикальная асимптота: при x <1 график приближается к асимптоте слева, при x >1 − справа. Ось Ох – горизонтальная асимптота: при x →−∞ график приближается к асимптоте снизу,
при x → +∞ – сверху. Экстремумы: точка |
4 |
максимума x = 0, |
|||
y (0) = 0; |
точка минимума x = −2 , y(−2)= − |
. Точки перегиба |
|||
27 |
|||||
функции |
x1,2 = −2 ± 3. |
||||
23.Функция определена и непрерывна при всех x ≠1. Прямая
x=1 − вертикальная асимптота. При x <1 график приближается к
асимптоте слева, при x >1 – справа. Точка минимума |
x = |
3 |
, |
||||||
3 |
27 |
2 |
|||||||
= |
. Точка перегиба х = 0. При переходе через точку пере- |
||||||||
y |
2 |
4 |
|||||||
гиба функция меняет выпуклость на вогнутость.
24. Функция определена, непрерывна и принимает неотрицательные значения при всех x \; y(0)= 0. Ось Ох – горизонталь-
ная асимптота при x → +∞. К асимптоте график приближается сверху. Экстремумы: точка минимума x =0, y(0)= 0 ; точка мак-
104
симума |
x = 2, y(2)= |
4 |
. Точки перегиба функции |
x = 2 ± 2 . |
|
e2 |
|||||
1,2 |
При переходе через точку х1 функция меняет выпуклость на вогнутость, при переходе через точку х2 – вогнутость на выпуклость.
25. Функция определена и непрерывна при всех x \; y(0) = 0, y < 0 при x <0 и y > 0 при x >0. Ось Ох – горизонтальная асимптота при x →+∞. К асимптоте график приближается
сверху. Точка максимума x = |
1 |
1 |
= |
1 |
e |
−1 |
. Точка перегиба функ- |
||
2 |
, y |
2 |
2 |
||||||
ции х = 1. При переходе через точку перегиба функция меняет вогнутость на выпуклость.
26. Область определения: 4x − x2 > 0 x(4 − x)> 0 x (0; 4).
Прямые x =0 и x = 4 − вертикальные асимптоты: к асимптоте x = 0 график приближается справа, а к асимптоте x = 4 − слева. В точках
x1,2 = 2 ± 3 график пересекает ось Ох. Точка x = 2 − точка максимума, y(2) = ln 4. Точек перегиба нет. Функция всюду вогнута.
33. |
lim (xln x)= (+0)(−∞) |
= lim ln x = |
∞ |
= 0 |
|||||||||||||||
x→+0 |
x→+0 |
1 |
|||||||||||||||||
∞ |
|||||||||||||||||||
Лопиталя). |
x |
||||||||||||||||||
( |
x − ln( x +1 |
[ |
] |
||||||||||||||||
34. |
lim |
= |
∞ − ∞ |
= +∞. |
|||||||||||||||
x→+∞ |
( |
)) |
|||||||||||||||||
36. |
lim |
( |
x2e−2 x |
) |
= |
(+∞)e−∞ |
= (+∞)0 = lim |
x2 |
|||||||||||
2 x |
|||||||||||||||||||
x→+∞ |
x→+∞ e |
||||||||||||||||||
правилу Лопиталя).
(по правилу
∞ |
= 0 (по |
|
= |
||
∞ |
38.Функция определена, непрерывна и положительна при всех
x≠ 0. Ось Оу − вертикальная асимптота при x → −0 ( y → +∞).
Прямая у = 1 − горизонтальная асимптота: график функции приближается к асимптоте снизу при x → +∞ и сверху при x → −∞.
Точек экстремума нет. Точка перегиба функции x = 12 . При перехо-
де через точку перегиба функция меняет выпуклость на вогнутость.
105