Файл: Марченко_Высшая математика.pdf

б) найти промежутки вогнутости

( f ′′(x) < 0) и выпуклости

( f ′′(x)

> 0);

в)

найти точки перегиба ( f ′′(x)=

0 или не существует, но

Таблица 2.10

Пример исследования функции y = x3 − 6 x2 + 9 x + 3

и построения графика

Этапы

Функция

y = x3 − 6x2 + 9x + 3

1. а) найдем

область оп-

Так как функция является многочленом, то она

ределения и

интервалы

определена и непрерывна при всех

x \. Точек

непрерывности функции

разрыва нет

в) исследуем функцию на

Область определения симметрична относительно

четность, нечетность, пе-

начала координат и

y(−x) ≠ y(x), y(−x) ≠ −y(x),

риодичность

f (x +T ) ≠ f (x), x Df , T > 0 . Значит, функ-

ция не является ни четной, ни нечетной, ни пе-

риодической

г) найдем асимптоты гра-

Так как нет точек разрыва, то нет и вертикальных

фика функции

асимптот. Наклонные

асимптоты

отсутствуют

в силу того, что lim

f (x)

= +∞

x

x→∞

д) найдем пределы функ-

lim

x3 − 6x2

+ 9x + 3

)

= +∞;

ции при стремлении аргу-

x→+∞ (

мента к границам области

lim

x3 − 6x2

+ 9x + 3

)

= −∞

определения (x → ±∞)

x→−∞ (

е) найдем точки пересе-

Точка (0; 3)

− точка пересечения с

осью Оy

чения с осями координат

(при х = 0 у = 3). Положение точки пересечения

(какие возможно)

с осью Ох определится дальше

2. а)−г) найдем интерва-

y′ =3x2 −12x +9 =3

(

)(

)

1

2

x

−1

x

−3 =0 при x

=1; x =3;

лы возрастания и убыва-

max

min

ния, точки экстремума

Знак y′(x)

+

–

+

Поведение

1

3

x

функции

(−∞; 1) и (3; + ∞) – интервалы возрастания;

(1; 3) – интервал убывания функции;

x = 1 – точка максимума, x = 3 – точка минимума,

y (1) = 7, y (3) = 3

3. а)−в) найдем интерва-

y′′ = 6x −12 = 0 при x = 2,

y (2) = 5; y′′(x) < 0 при

лы выпуклости, вогнуто-

x < 2

(функция вогнута)

и y′′(x) > 0

при x > 2

сти, точки перегиба

(функция выпукла), значит, х = 2 – точка переги-

ба функции, а точка (2; 5) – точка перегиба гра-

фика функции

Окончание табл. 2.10

Этапы

Функция

y = x3 − 6x2 + 9x + 3

4. Построим

схематиче-

7

у

ский график функции.

Замечание. График функ-

ции пересекает ось

Ох

(2; 5)

в одной точке x = c,

при-

3

надлежащей

интервалу

(–1; 0). Значит, уравнение

x3 −6x2

+9x + 3 = 0 имеет

один действительный ко-

с

1

3

x

рень x = c

x2

Таблица 2.11

Пример исследования функции y =

и построения графика

x −1

Этапы

Функция

y =

x2

x −1

1. а) найдем область оп-

Функция определена и непрерывна при всех x ≠1

ределения

и

интервалы

(как частное двух непрерывных функций);

x =1 –

непрерывности функции

точка разрыва

б) исследуем

тип точки

x2

1

x2

1

разрыва x =1. Для этого

lim

=

= −∞; lim

=

= +∞.

x −

1

x −

1

x→1−0

−0

x→1+0

+0

найдем

односторонние

Так как в точке x =1 функция терпит бесконечный

пределы при x →1

разрыв,

то

прямая

x =1 является

вертикальной

асимптотой

г) найдем

наклонные

k = lim

f (x)

= lim

x2

= lim

x

=1,

асимптоты y = kx +b.

1

x→±∞

x

x

→±∞ x (x −1)

x

→±∞ x −

Замечание. Отличие сте-

( f (x)− kx)=

x

2

x

пени многочлена в чис-

b = lim

lim

− x

= lim

=1.

1

лителе от степени мно-

x→±∞

x→±∞ x −1

x→±∞ x −

гочлена

в

знаменателе

Прямая

y = x +1

−

наклонная

асимптота

при

на единицу

свидетель-

x → +∞ и x → −∞.

ствует о наличии на-

x2

(x2

−1)+1

1

клонной асимптоты

Так как

x −1 =

x −1

= (x +1)+ x −1 > x +1 при

x >1, то график функции расположен выше асим-

птоты, аналогично ниже асимптоты при x <1

в), е) исследуем функ-

Так как область определения не симметрична от-

цию на четность, най-

носительно нуля,

то функция не будет ни четной,

дем точки

пересечения

ни нечетной. При x = 0 y = 0, значит, график функ-

с осями

ции пройдет через начало координат