ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.05.2025
Просмотров: 1567
Скачиваний: 21
Глава 3. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
3.1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ
1.Первообразная, ее общий вид и существование, определение неопределенного интеграла.
2.Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица простейших интегралов.
3.Непосредственное интегрирование.
4.Замена переменной в неопределенном интеграле.
5.Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
6.Интегрирование рациональных функций.
7.Метод рационализации: интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических.
8.Метод рационализации: интегрирование простейших иррациональностей.
Первообразная, ее общий вид и существование, определение неопределенного интеграла
Первообразная функция
Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на интервале (a; b), если
F′(x) = f (x), x (a; b).
Пример 1. Первообразной для функции f (x)= 2x3 на всей чи-
словой оси является |
F(x) = |
1 |
x |
4 |
1 |
x |
4 |
′ |
= 2x |
3 |
. Первообразной |
|
2 |
, т. к. |
|||||||||||
2 |
||||||||||||
является и функция вида |
1 x4 |
+C , где C – произвольная, но фик- |
|||
сированная постоянная. |
2 |
||||
f (x)=1 1 + x2 |
) |
||||
Пример 2. Первообразной |
для |
функции |
|||
( |
|||||
на промежутке (−∞; + ∞) является произвольная функция вида |
|||||
F(x) = arctgx +C, где |
C = const , |
т. к. (arctgx + C)′ =1 (1 + x2 ). |
|||
Отметим, что первообразной является и функция вида −arcctgx +C1, |
|||||
где C1 = const . |
|||||
106
Таким образом, первообразных у данной функции бесчисленное множество, т. к. постоянная величина C может принимать любые значения.
Общий вид первообразных
Если F (x) – первообразная для функции f (x) на интервале (a; b), то выражение
F (x) + C,
где C = const – произвольная постоянная, описывает общий вид (любую первообразную) для функции f (x) на (a; b).
Таким образом, две различные первообразные для одной и той же функции на одном и том же промежутке различаются разве лишь на постоянную.
Существование первообразной
Если функция y = f (x) непрерывна на данном интервале, то на этом интервале она имеет первообразную.
Неопределенный интеграл
Общий вид первообразных для данной функции y = f (x) (на интервале (a; b)) будем называть неопределенным интегралом от этой функции (на интервале (a; b)) и обозначать ∫ f (x)dx .
Таким образом,
∫ f (x)dx = F (x)+C, x (a; b),
где F (x) – произвольная (фиксированная) первообразная для f (x); C – произвольная постоянная.
Операция нахождения неопределенного интеграла для данной функции называется интегрированием этой функции, сама функция f (x) называется подынтегральной функцией, f (x)dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования. Интег-
рирование – операция (с точностью до постоянной), обратная операции дифференцирования. Правильность интегрирования всегда можно проверить дифференцированием (см. ниже свойства 1 и 2).
Найти неопределенный интеграл от функции – это значит найти общий вид первообразных от нее; если неопределенный интеграл для данной функции существует, то такая функция называется интегрируемой (на данном интервале).
107
График первообразной y = F (x) от функции f (x) называется интегральной кривой уравнения y′ = f (x).
Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица простейших интегралов
1. Дифференцирование обратно интегрированию:
(∫ f (x)dx)′ = f (x), d ∫ f (x)dx = f (x)dx.
Производная и дифференциал неопределенного интеграла равны соответственно подынтегральной функции и подынтегральному выражению.
2. Интегрирование (с точностью до постоянной) обратно дифференцированию:
∫ f ′(x)dx = f (x)+ C, ∫dF(x) = F(x) + C.
Неопределенный интеграл от производной некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной; интеграл от дифференциала dF (x) дает F (x)+ C .
Отметим, что символы интеграла ∫ и дифференциала d, приме-
няемые последовательно, взаимно уничтожают другдруга(безучета произвольной постоянной).
3. Важнейшим свойством неопределенного интеграла является его линейность:
а)∫αf (x)dx = α∫ f (x)dx, |
Постоянный множитель можно выно- |
где α = const ; |
сить за знак неопределенного интеграла. |
б)∫( f (x)± g (x))dx = |
Неопределенный интеграл от суммы |
= ∫ f (x)dx ± ∫g (x)dx; |
(разности) интегрируемых функций ра- |
вен сумме (разности) интегралов этих |
|
функций. |
Эти два свойства неопределенного интеграла можно заменить им эквивалентным:
в) ∫(αf (x)+ βg (x))dx = = α∫ f (x)dx + β∫g (x)dx,
где α = const , β = const .
Неопределенный интеграл от линейной комбинации интегрируемых функций равен соответствующей линейной комбинации интегралов от этих функций.
108
4. Свойство инвариантности формул интегрирования. Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при за-
мене независимой переменной любой дифференцируемой функцией от нее, т. е.
∫ f (x)dx = F (x) + C ∫ f (u)du = ∫ f (u(x))u′(x)dx = F (u(x))+ C ,
где u = u(x) – любая непрерывно дифференцируемая функция от х,
в частности ∫ f (ax + b)dx = 1a F (ax + b)+ C , где a ≠ 0 .
Это свойство вытекает из свойства инвариантности первого дифференциала и может быть проверено по правилу дифференцирования сложной функции. Оно эффективно при практическом применении, т. к. основная таблица интегралов в силу этого оказывается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой дифференцируемой функцией от нее.
Таблица простейших интегралов (u = u(x))
1. |
∫0 du = C. |
|||||||||||||||||
2. |
∫u |
α |
du = |
uα+1 |
+C , где α ≠ −1. |
2. а) ∫1 du = u + C; |
||||||||||||
α +1 |
2. б) ∫ |
1 |
du = 2 u + C; |
|||||||||||||||
u |
||||||||||||||||||
2. в) ∫ |
1 |
1 |
||||||||||||||||
du = −u + C. |
||||||||||||||||||
u2 |
||||||||||||||||||
3. |
∫1 du = ln |
u |
+ C. |
|||||||||||||||
u |
||||||||||||||||||
u |
au |
4. а) ∫eu du = eu + C. |
||||||||||||||||
4. |
∫a |
du = |
+ C. |
|||||||||||||||
ln a |
||||||||||||||||||
5.∫sin udu = −cosu + C.
6.∫cosudu = sin u + C.
1
7. ∫cos2 u du = tgu + C.
1
8. ∫sin2 u du = −ctgu + C.
109
1 |
u |
+ C, |
9. а) ∫ |
1 |
du = arctgu +C = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
a arctg a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. ∫ |
du |
1 +u2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
= −arcctg u + C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u |
2 |
+ |
a |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− 1 arcctg u + C . |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
a |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
arcsin u |
+ C, |
10. а) ∫ |
1 |
du =arcsin u +C = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
−u |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
du = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
a2 |
−u2 |
u |
= −arccosu + C1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ C. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−arccos |
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. ∫ |
du |
1 |
u − a |
+ C; |
11. а) ∫ |
du |
1 |
u −1 |
+ C; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
ln |
u + a |
= 2 ln |
u +1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u2 − a2 |
2a |
u2 |
−1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
du |
1 |
a + u |
+ C. |
∫ |
du |
1 |
1 + u |
+ C. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
ln |
a − u |
= |
2 ln |
1 − u |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a2 − u2 |
2a |
1 − u2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. ∫ |
du |
= ln |
u + |
u2 ± a |
+ C. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u |
± a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример. Найти неопределенный интеграл с помощью таблицы интегралов:
∫ |
dx |
= ∫ |
dx |
= |
1 |
∫ |
dx |
= |
1 |
∫ |
dx |
= |
|||||||||||||||||||||||
5x2 +1 |
2 |
1 |
5 |
x |
2 |
+ |
1 |
5 |
1 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||
5 x |
+ |
x |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
5 |
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
1 |
1 |
arctg |
x |
+ C = |
5 |
arctg |
5x + C . |
|||||||||||||||||||||||||||
5 |
1 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Интегрирование, в отличие от дифференцирования с его установленными формальными правилами, в большей степени требует индивидуального подхода.
Непосредственное интегрирование
Нахождение интегралов с помощью тождественных преобразований подынтегрального выражения с использованием основных свойств и таблицы неопределенных интегралов называется непосред-
ственныминтегрированием.
110