Решение. Исключим x1 из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на –2 и сложим со вторым, затем первое уравнение умножим на –3 и сложим с третьим. Получим систему, равносильную данной:
|
|
|
x + 2x + 2x = 3, |
|
x + 2x + 2x = 3, |
(–2) |
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
2x1 +3x2 |
+5x3 |
=10, |
|
|
|
−x2 + x3 = 4, |
(–3) |
+ |
|
|
|
3x |
+ 7x |
+ 4x |
= 3. |
|
|
x |
− 2x = −6. |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
2 |
3 |
Исключим x2 из третьего уравнения, для чего второе уравнение полученной системы прибавляем к третьему. Получим систему
x |
+ 2x |
2 |
+ |
2x = 3, |
|
x |
= 3 − 2x |
2 |
− 2x |
= 3, |
|
1 |
|
|
3 |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
− x2 + |
x3 = 4, |
|
|
x2 = x3 − 4 = −2, |
|
|
|
|
|
− x3 = −2, |
|
|
|
x3 |
= 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из третьего уравнения находим x3. Из второго уравнения находим x2, используя найденные значения x3, а затем из первого уравнения находим x1.
Решение системы имеет вид (3; − 2; 2).
Универсальность метода Гаусса заключается в том, что им можно решить систему с нулевым определителем (или установить ее несовместность), а также системы, у которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных.
Пример 2. Решить систему:
8x + y +5z =13,4x − y +3z = 5,
2x + y + z = 4.
Решение. Вычислим определитель системы
2 1 1
По формулам Крамера решить систему нельзя. Применим метод Гаусса, предварительно поменяв местами 1-е и 3-е уравнения системы, что позволит исключать неизвестные, оперируя только целыми числами:
2x + y + z = 4, |
|
2x + y + z = 4, |
2x + y + z = 4, |
|
4x − y + 3z = 5, |
|
|
3y + z = −3, |
|
−3y + z = −3, |
|
|
|
|
–1 |
|
|
|
|
−3y + z = −3. |
|
0 = 0. |
8x + y + 5z =13. |
|
|
|
У нас осталось 2 уравнения с тремя неизвестными. Обозначим z = c (c ) и перенесем в правую часть системы. Получим:
|
|
+ y = 4 − c |
x = |
1 |
|
(4 − c − y)= |
1 |
|
− |
1 |
|
= |
3 |
− |
2 |
c, |
2x |
2 |
2 |
4 − c −1 |
3 |
c |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−3y |
= −3 − c |
|
|
|
|
y = |
(3 |
+ c)=1 + |
c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система имеет бесчисленное множество решений: |
|
|
|
|
|
x = |
3 |
− 2 c, y =1+ |
1 c, |
|
z = c, |
c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Если бы в третьем уравнении системы вместо верного равенства 0 = 0 было получено неверное равенство, например, 0 = 2 , то в этом случае система была бы несовместной.
|
4.1.2. Вопросы для самоконтроля |
1. Матрица |
A имеет размер 2×3. Размер матрицы AT равен: |
а) 2×2; б) 3×3; |
в) 3×2; г) 2×3? |
2.Справедливо ли равенство det A = det AT ?
3.Матрица A имеет размер 2×3, матрица B – 2×2. Существуют ли произведения A B , B A ?
4.Можно ли решить систему линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, если: а) определитель системы равен (–5); б) определитель системы равен 0; в) система имеет три уравнения с четырьмя неизвестными?
5.Какая система линейных алгебраических уравнений всегда совместна?
6.Когда однородная система линейных алгебраических уравнений n-го порядка имеет только нулевое решение?
7.Матрица A имеет размер 3×2, E3 – единична матрица третьего порядка. Произведение E A а) равно A E ; б) не существует; в) равно E ; г) равно A ?
8.Диагональная матрица 3-го порядка имеет отличные от нуля элементы 2, 3, (–4). Ее определитель равен а) 6; б) –8; в) –12; г) –24; д) другому числу?
9.Определитель матрицы A третьего порядка равен 5. Определитель матрицы 2 A равен а) 5; б) 10; в) 25; г) 125?
10.Чему равен определитель единичной матрицы а) 2-го порядка; б) 3-го порядка?
11.Сформулируйте алгоритм получения обратной матрицы.
4.1.3.Практический минимум
1.Найти матрицу, транспонированную к матрице A :
|
|
7 |
5 |
4 |
|
|
|
4 |
|
а) |
A = |
1 |
3 |
−1 |
; б) |
A = |
2 |
; в) A =[a b c]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
−7 |
|
|
|
3 |
|
|
|
1 0 |
|
|
|
1 −1 |
|
|
|
1 |
3 |
2. Даны матрицы A = |
|
−1 |
|
, B = |
|
|
C |
= |
|
5 |
|
|
3 |
3 1 |
, |
|
6 . Найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 0 |
|
|
|
7 0 |
|
|
|
|
−2 |
3 |
а) 2 A; б) 2 A + 3B − C ; в) −2CT . |
|
|
2 |
5 |
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти 3A + 2E , если |
A = |
|
|
−3 |
1 |
|
, |
|
E |
– |
единичная |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
матрица третьего порядка.
4. Вычислить определители второго порядка:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
2 |
−5 |
|
; б) |
|
|
a |
1 |
|
; в) |
|
cos x |
|
sin x |
|
; г) |
|
3 a |
a |
; д) |
|
ln x |
ln y |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−1 |
|
|
|
a2 |
−a |
|
|
−cos x |
sin x |
|
|
|
1 |
3 a2 |
|
−2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Вычислить определители третьего порядка: |
|
|
0 −a −b |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
3 8 −1 |
; б) |
|
1 −1 0 |
|
; в) |
|
|
|
3 −2 7 |
; г) |
|
a 0 |
−c |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 4 2 |
|
|
|
|
|
|
2 3 −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 −6 3 |
|
|
|
|
|
b c |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos α |
|
|
0 |
|
|
sin α |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
−4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
0 |
; е) |
|
1 3 |
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
sin α |
cos α |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Выяснить, для каких матриц существует обратная и найти ее: |
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; б) |
|
|
|
|
|
|
; в) 1 2 1 |
; г) |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
−14 |
|
|
−6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Решить уравнения и неравенства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 x +1 |
|
= 0; б) |
|
1 −3x x |
|
= 3; в) |
|
5x +3 3 |
|
≥0; г) |
|
2x −3 3x −8 |
|
< 0. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2x 1 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2x +3 |
|
|
|
|
8. Найти решения или установить несовместность систем, дать геометрическую интерпретацию:
|
5x − 3y =13, |
3x − 2 y = 6, |
|
в) |
|
2x − 6 y = 3, |
а) |
|
|
|
б) |
|
|
|
2x + 7 y = −3; |
−6x + 4 y =1; |
|
|
3y − x = −1,5. |
|
9. Решить системы по формулам Крамера: |
|
|
3x − x + 2x =1, |
2x − x + x = 0, |
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
|
а) x1 − x2 = −5, |
б) 3x1 − 2x2 − x3 = 5, |
2x + x + x = 4; |
x |
+ x |
+ 2x |
= 3; |
|
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
|
3 |
|
2x1 + x2 + x3 = 4,2x1 − 5x2 + 3x3 = −2,4x1 − x2 + 3x3 = 5;
y + z − 2x = 0,2x − y + 4z =15,3x − y + z =8;
2x1 + 3x2 + 4x3 = −1,x1 + 2x2 + x3 = 4,6x1 − 2x2 + x3 = −3;
3x + y − 2z = 0,2x − 3y + z = 0,
−x + 2 y + 4z = 0.
10. Решить системы методом Гаусса или доказать несовмест-
ность систем: |
|
x |
+ 3x |
− x = −4, |
4x + 2 y + z =11, |
1 |
2 |
3 |
|
а) x1 + 2x2 + x3 = 3, |
б) 2x + y − 5z = 0, |
|
|
+ 2x3 =11; |
|
3x1 + x2 |
x + 2 y − 3z = −2; |
4x − 2 y − 3z = −1,2x + 3y − z = 2,
3x − y + 2z = −13;
x1 − 3x2 + 4x3 = 0,2x1 + 4x2 − x3 = 0,4x1 − 2x2 + 7x3 = 0;
3x |
+ 2x |
− 3x |
|
= −3, |
|
1 |
2 |
3 |
|
x1 |
+ 2x2 + 4x3 = 9, |
2x |
+ 7x |
− x |
= 0, |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
3x |
+ 8x |
− x |
=1; |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
x + 2 y − 3z = 0,3x + 4 y − z = 7,
7x +10 y − 5z = 2;
x1 + 3x2 − x3 + x4 =1,2x1 + 4x2 + x4 = 0,
x1 + 5x2 − 4x3 − x4 = −2;
x1 + x2 =1,
x1 + 3x2 + 2x3 = 5,
5x1 + 8x2 + 3x3 =11,
3x1 + 2x2 − x3 =1.
